2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Жорданова форма при решении ЛДУ, может ли получиться такая?
Сообщение24.12.2012, 00:14 
Аватара пользователя
Пытаюсь решить вот такую систему:
$\dot{x}=x-2y$
$\dot{y}=x-y$
Записала матрицу системы:
$A=\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$
Собственные числа получились комплексные: $\lambda_1=i$, $\lambda_2=-i$.
Собственные векторы: $h_1=\begin{pmatrix}
2 \\
1-i
\end{pmatrix}$, $h_2=\begin{pmatrix}
2 \\
1+i
\end{pmatrix}$
$H=\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
i-1 & i+1
\end{pmatrix}$, $H^{-1}=\begin{pmatrix}
1/4+i/4 & -1/2 \\
1/4-i/4 & 1/2
\end{pmatrix}$
Нахожу жорданову форму по формуле $J=H^{-1} \cdot A \cdot H$
В итоге получаю вот такую матрицу:
$J=\begin{pmatrix}
i & 0 \\
2-2i & -i
\end{pmatrix}$.
Может ли такое быть? Собственные числа и векторы проверяла подстановкой, все сходится...
Пример решения смотрела здесь (пример №3).

 
 
 
 Re: Жорданова форма при решении ЛДУ, может ли получиться такая?
Сообщение24.12.2012, 05:50 
Аватара пользователя
tpm01 в сообщении #662735 писал(а):
Может ли такое быть?

Не может. Если собственные числа разные (а они разные), то жорданова форма диагональна и на диагонали мёртвые с косами собственные числа стоят в том порядке, в каком расставлены собственные вектора в матрице $H$.

Вычислять $H^{-1}AH$ нет необходимости, так как заранее известно, что должна получиться
$J=\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i
\end{pmatrix}$
Именно в этом необязательном перемножении у Вас и ошибка.

 
 
 
 Re: Жорданова форма при решении ЛДУ, может ли получиться такая?
Сообщение24.12.2012, 16:07 
Аватара пользователя
Спасибо.

 
 
 
 Re: Жорданова форма при решении ЛДУ, может ли получиться такая?
Сообщение24.12.2012, 18:53 
Вольфрам Вам в помощь.

 
 
 
 Re: Жорданова форма при решении ЛДУ, может ли получиться такая?
Сообщение24.12.2012, 22:55 
Аватара пользователя
Yu_K, спасибо огромное!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group