Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл.

[champion12]

Не получается понять задачу. Может подскажите?

Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл.

$\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx$

$\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx$

Для исследования равномерной сходимости пытаюсь выбрать мажорирующую функцию. Для $x\in [1;+\infty)$

$\Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p+\sin x}\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p+\sin x}\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p-1}\;dx\Bigg|$

Но ведь мажорирующая функция не должна зависеть от $p$....А что будет при $x=1$ при подобном виде мажорирующей функции?

А какую маожорирующую функцию взять на $x\in[0;1]$?

[alcoholist]

champion12 в сообщении #662630 писал(а):

$\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx$

1) берите вместо единички двойку

2) подинтегральное выражение всегда меньше некоторой постоянной по модулю (это как оценить первый интеграл)

3) Подумайте про множество тех $p$ на котором исследуется равномерная сходимость

[ewert]

См: http://dxdy.ru/topic66636.html?hilit=%D1%84%D0%B8%D1%85%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86