Нужна помощь в решении задач по числовым рядам

[smisha]

1) Исследовать на равномерную сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{x}} {n^2} \sin{\frac x n^2}$ на множестве $(0;+\infty)$.
2) Доказать, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nx^2}{(1+x^2)^n} $ сходится равномерно, а ряд из модулей неравномерно. Множество - вся числовая ось.
3) Пусть ${a_n}$ - монотонно возрастающая последовательность. Доказать, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-\frac {a_n} {a_{n+1}})$ сходится, если ${a_n}$ ограничена, и расходится, если ${a_n}$ - неограничена.

В первом пробовал использовать отрицание критерия коши, однако к успеху это не привело. А в остальных я даже не знаю, как начать.
Спасибо за ответы.

[xmaister]

smisha в сообщении #662043 писал(а):

3) Пусть ${a_n}$ - монотонно возрастающая последовательность. Доказать, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-\frac {a_n} {a_{n+1}})$ сходится, если ${a_n}$ ограничена, и расходится, если ${a_n}$ - неограничена.

$a_{n+1}-a_1=a_n-a_1+o(1)=\sum\limits_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)\to c+a_1$. Значит...

-- 22.12.2012, 22:02 --

smisha в сообщении #662043 писал(а):

1) Исследовать на равномерную сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{x}} {n^2} \sin{\frac x n^2}$ на множестве $(0;+\infty)$.

А тут только икс в квадрате или весь синус?

[smisha]

xmaister
Вы правы, синус в квадрате.

[smisha]

smisha в сообщении #662105 писал(а):

xmaister
Вы правы, синус в квадрате.

Я опять ошибся, не синус в квадрате и не x, а n в квадрате. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac {\sqrt{x}} {n^2} \sin {\frac {x} {n^2}}$
А ваше решение третьей задачи я не понял, можно поподробнее?

[xmaister]

smisha в сообщении #662191 писал(а):

ваше решение третьей задачи я не понял, можно поподробнее?

Что можно сказать про сходимость $\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1}-a_k$?

[smisha]

xmaister
Я только могу сказать, что, если записать в бесконечную сумму, то общий член будет стремиться к нулю.

[xmaister]

Ясно, что $a_{n+1}-a_1=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1}-a_k$. Тогда $\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1}-a_k$ сходится или расходится одновременно с $a_n$. Теперь отсюда получите, что Ваш ряд сходится ли расхоидтся вместе с $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$.

[smisha]

xmaister
Теперь понятно, спасибо большое.

[BatMan]

Во второй задаче ряд сходится к $x^{2}\frac{{1+x^2}}{2+x^{2}}$ (геом.прогр.) для любых x;
для модулей ряд сходится для x не равных 0 к $1+x^{2}$ , а для x=0 к 0.

[smisha]

xmaister
А если $\sum\limits_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)$ расходится, что можно сказать про $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_{k+1}-a_k}{a_{k+1}}$ ?
BatMan
спасибо

[smisha]

Никак не получается доказать расходимость в 3-й задаче. Может кто-нибудь поможет?

[Cash]

$t < -\ln(1-t)$
$t>\ln(1+t)$

-- Сб дек 29, 2012 17:29:39 --

Из неравенства $t < -\ln(1-t)$ следует сходимость при ограниченности.
Для доказательства расходимости при неограниченности можно использовать
$t > -0.5\ln(1-t)$ для достаточно малых $t$