Нахождение множества полюсов касательных

[mad Wednesday]

Найти множество полюсов всех касательных к линии $G_1$ ($x_{1}^2 - 3x_{2}^2 - 5x_{3}^2 + 2x_{1}x_{3}=0$) относительно линии $G_2$ ($x_{1}^2+2x_{2}^2+x_{3}^2+2x_{1}x_{2}=0$).

Пытался составить уравнение касательной к первой линии:
$(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3})y_{1}$ $+(a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3})y_{2}$$+(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3})y_{3}=0$

Подставил вместо коэффициентов $a_{n} $ коэффициенты уравнения для первой линии:
$(x_{1}+2x_{3})y_{1}-3x_{2}y_{2}+(2x_{1}-5x_{3})y_{3}=0$

Но что делать дальше - не знаю.

[alcoholist]

ну, это не линии, а поверхности...

а это:

mad Wednesday в сообщении #660955 писал(а):

$(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3})y_{1}$ $+(a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3})y_{2}$$+(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3})y_{3}=0$

вообще непонятно что такое... даже на касательную плоскость не тянет

[mad Wednesday]

загвоздка в нахождении касательной. координаты полюса можно получить с помощью коэффициентов уравнения касательной.

[Deggial]

alcoholist в сообщении #660966 писал(а):

ну, это не линии, а поверхности...

В $PE^3$ это линии, квадрики.

mad Wednesday в сообщении #660955 писал(а):

Найти множество полюсов всех касательных к линии G1 ($x_{1}^2 - 3x_{2}^2 - 5x_{3}^2 + 2x_{1}x_{3}=0$) относительно линии G2 ($x_{1}^2+2x_{2}^2+x_{3}^2+2x_{1}x_{2}=0$).

А что значит "относительно $G_2$"?
(кстати, оформлять ТеХом, надо все формулы, иначе тему утащу в Карантин)
Вот есть $G_1$, пусть $M\in G_2$ - точка. Для каждой точки $M$ однозначно определена касательная $l(M)$, для каждой касательной $l$ определен полюс $P(l)$. Находим все полюсы и получаем искомое множество. Каким боком здесь $G_2$?

-- 20.12.2012, 13:05 --

mad Wednesday в сообщении #660968 писал(а):

загвоздка в нахождении касательной.

Уравнение касательной $A^TGX=0$. Ваше уравнение касательной похоже действительно такое, как Вы пишите. А что Вы дальше с ним делаете?

-- 20.12.2012, 13:29 --

Кажется, я понял: полюс для поляры Вы ищите относительно $G_2$, а не относительно $G_1$. Тогда с заданием все нормально.

-- 20.12.2012, 13:31 --

Тогда дальше так:

mad Wednesday в сообщении #660955 писал(а):

Но что делать дальше - не знаю.

Как найти координаты полюса по заданному уравнению поляры (которое Вы написали) и по уравнению квадрики $G_2$? (уравнение поляры здесь лучше записать в векторной форме)

[mad Wednesday]

Относительно $G_2$ - я сам не до конца разобрался.
Какие формулы я не оформил ТеХом?
В уравнении касательной я вместо $a_{11}, a_{21}... $ подставил коэффициенты из уравнения G1. т.е., $a_{11} = 1, a_{12}=0, a_{13}=2 $ и так далее.
А можно немного поподробнее про формулу касательной, которую вы написали?

[Deggial]

mad Wednesday в сообщении #660984 писал(а):

Какие формулы я не оформил ТеХом?

вот эти:

mad Wednesday в сообщении #660984 писал(а):

Относительно G2 - я сам не до конца разобрался.

mad Wednesday в сообщении #660984 писал(а):

из уравнения G1

исправьте. Правильно так: $G_2$.

-- 20.12.2012, 13:41 --

mad Wednesday в сообщении #660984 писал(а):

В уравнении касательной я вместо $a_{11}, a_{21}... $ подставил коэффициенты из уравнения G1. т.е., $a_{11} = 1, a_{12}=0, a_{13}=2 $ и так далее.

Это правильно.

mad Wednesday в сообщении #660984 писал(а):

А можно немного поподробнее про формулу касательной, которую вы написали?

Это то же, что написали и Вы, только в матричной форме:

$$A^TGX=0$$

Здесь $G$ - матрица квадрики (у Вас $G:=(a_{i,j})$), $X=(x_1:x_2:x_3)$ - вектор-столбец (я строкой записал, мне так проще) координат точек касательной, а $A^T=(y_1:y_2:y_3)$ - вектор-строка произвольной точки квадрики, к которой проводится касательная.
Эта формула следует из общей формулы для уравнения касательной к квадрике из произвольной точки.
Вам на лекции разве не так давали?

-- 20.12.2012, 13:43 --

И еще должны были дать формулу, как по уравнению поляры и по уравнению квадрики ($G_2$) найти полюс. Если уж решать такие задачи, то формулы надо знать.

[mad Wednesday]

Цитата:

И еще должны были дать формулу, как по уравнению поляры и по уравнению квадрики найти полюс. Если уж решать такие задачи, то формулы надо знать.

вы об этом?
$\frac{m_{0}}{F_{0}(A)} = \frac{m_{1}}{F_{1}(A)} = \frac{m_{2}}{F_{2}(A)}$

$m_{n}$ - коэффициенты в уравнении поляры, $F_{n}(A)$ - квадратичная форма для точки А, сопряженной точкам этой поляры.

-- 20.12.2012, 16:51 --

и еще вопрос.

Цитата:

Находим все полюсы и получаем искомое множество.

как получить это множество?