Момент импульса -- интегралы движения

[alcoholist]

Прошу помочь, совсем классическую механику забыл.

Вот пусть у меня есть лагранжиан свободной частицы во вращающейся с.о.

$$ L=\frac{m}{2}\left(v+\Omega\times r\right)^2. $$

Я честно порехожу к полярным координатам (ось $z$ вдоль $\Omega$) и нахожу два сохраняющихся обобщенных импульса. А какой смысл тут имеет момент импульса? Какие его компоненты сохраняются?

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #659272 писал(а):

честно порехожу к полярным координатам

частица в $\mathbb{R}^3$ или в $\mathbb{R}^2$? и лагранжиан в обобщенных координатах выпишите.

[alcoholist]

выписал же

$$ L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2+\dot{z}^2-2r^2\dot{\varphi}\Omega+r^2\Omega^2\right). $$

В силу того, что $\partial L/\partial\varphi=\partial L/\partial z=0$ обобщенные импульсы $p_\varphi$ и $p_z$ сохраняются:

$$ p_\varphi=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^2(\dot{\varphi}-\Omega),\quad p_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z}. $$

А что с моментами импульса?

-- Вс дек 16, 2012 18:01:15 --

Меня не интересуют уравнения движения, я их и сам могу выписать

интересует осмысленность "момента импульса"

[Oleg Zubelevich]

$p_\varphi$ и есть компонента момента импульса

[alcoholist]

Oleg Zubelevich в сообщении #659312 писал(а):

$p_\varphi$ и есть компонента момента импульса

т.е.одна из компонент момента импульса совпадает с одним из обобщенных импульсов?
(это противоречит ЛЛ, у которых $M_z=mr^2\dot{\varphi}$)

а другие компоненты?

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #659324 писал(а):

то противоречит ЛЛ, у которых $M_z=mr^2\dot{\varphi}$

это наверное для координат в абсолютном пространстве записано, у Вас цилиндрические координаты в подвижном пространстве, а момент импульса сохраняется в абсолютном, поэтому и формулы другие

-- Вс дек 16, 2012 18:26:53 --

alcoholist в сообщении #659324 писал(а):

а другие компоненты?

в абсолютном пространстве сохраняются все компоненты момента импульса. пересчитывайте их в Ваше подвижное пространство, если нужно

[alcoholist]

Oleg Zubelevich в сообщении #659329 писал(а):

в абсолютном пространстве

что такое "абсолютное пространство"?

Oleg Zubelevich в сообщении #659329 писал(а):

в абсолютном пространстве сохраняются все компоненты момента импульса.

значит, почти все задачи абсолютно интегрируемы?

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #659493 писал(а):

что такое "абсолютное пространство"?

тоже самое, что инерциальная система координат

alcoholist в сообщении #659493 писал(а):

значит, почти все задачи абсолютно интегрируемы?

ну, если для Вас вот это:

alcoholist в сообщении #659272 писал(а):

лагранжиан свободной частицы во вращающейся с.о.

и есть "почти все задачи", то да, в этом смысле почти все задачи абсолютно интегрируемы.
Но все-таки замечу, что кроме задачи о движении свободной частицы иногда случаются и другие задачи. Однако, Вы не беспокойтесь, это бывает не так часто.

[alcoholist]

А на каком основании Вы утверждаете, что

Oleg Zubelevich в сообщении #659312 писал(а):

$p_\varphi$ и есть компонента момента импульса

?

[Bulinator]

alcoholist в сообщении #659819 писал(а):

А на каком основании Вы утверждаете, что

Ну ведь это же сопряженный импульс координаты $\varphi$. В ИСО он называется моментом импульса(третьей компонентой).

-- Пн дек 17, 2012 18:22:14 --

Иными словами, это- линейный по импульсам интеграл , соответствующий вращательно симметрии в вашей задаче, что и есть определение момента импульса.

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #659819 писал(а):

А на каком основании Вы утверждаете, что

Oleg Zubelevich в сообщении #659312 писал(а):

$p_\varphi$ и есть компонента момента импульса

?

$p_\varphi$ у Вас это компонента момента имульса относительно инерциальной системы, но эта компонента выражена через координаты вращающейся системы (есртественно из $\dot\varphi$ вычлась переносная угловая скорость $\Omega$, хотя вроде-бы она должна была прибавиться, если Вы ее направили стандартно, и если $\varphi$ это ургол в подвижной цилиндрической системе координат)

[alcoholist]

Oleg Zubelevich, Bulinator

вообщем, сохраняются два обобщенных импульса и одна компонента момента импульса, совпадающая с одним из обобщенных импульсов... так?

[Oleg Zubelevich]

думаю, что относительно неинерциальной системы ничего (ни компоненты импульса ни компоненты момента импульса) не сохраняется ,чего проще выписать уравнения и проверить. Относительно инерциальной системы сохраняются все компоненты импульса и все компоненты момента импульса

-- Пн дек 17, 2012 21:14:13 --

есть две разные вещи
1) момент импульса взятый относительно неинерциалльной системы
2) момент импульса взятый относительно инерциальной системы, но расписанный по осям неинерциальной системы

[Bulinator]

alcoholist в сообщении #659886 писал(а):

вообщем, сохраняются два обобщенных импульса и одна компонента момента импульса, совпадающая с одним из обобщенных импульсов... так?

По $z$ неинерциальность не замечается и, следовательно, $p_z$ сохраняется. По $\varphi$ неинерциальность выражается в том, что у $p_\varphi$ появляется хвост. Оно тоже сохраняется.
Но $p_r$ у вас не сохраняется.

[SergeyGubanov]

alcoholist в сообщении #659324 писал(а):

(это противоречит ЛЛ, у которых $M_z=mr^2\dot{\varphi}$)

Во вращающейся системе координат надо будет ещё вычесть $\Omega$, то есть как раз и будет $M_z=m r^2 \left( \dot{\varphi} - \Omega \right) = p_{\varphi}$.

alcoholist в сообщении #659324 писал(а):

а другие компоненты?

Дело в том, что конструкция $(x^i p_j - x^j p_i)$ не является тензором. Это "тензор" только в евклидовом пространстве по отношению к поворотам декартовой системы координат. При переходе к криволинейным координатам эта конструкция разваливается.