Совместное распределение случ. величин

[mad1math]

Помогите, пожалуйста, разобраться! Что-то сомневаюсь в маргинальных плотностях.

Случайная пара $(\xi_1,\xi_2)$ имеет равномерное распределение на множестве $\{(x,y):|x|+|y|\leqslant 2\}$
Найти плотности распределений $\xi_1$ и $\xi_2$. Независимы ли $\xi_1$ и $\xi_2$?

Я так понял, что такая картинка



$f_{\xi_1\xi_2}(x,y)=\begin{cases} C,\;\; \text{если}\;\;\; |x|+|y|\leqslant 2\\ 0,\;\; \text{если}\;\;\; |x|+|y|> 2 \end{cases}\;\;\;$. Найдем $C$ из условия нормировки.

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\xi_1\xi_2}(x,y)(x,y)dxdy=C\displaystyle\int_{-2}^{0}dx\displaystyle\int_{-x-2}^{x+2}dy+C\displaystyle\int_{0}^{2}dx\displaystyle\int_{x-2}^{2-x}dy=$

$=C\displaystyle\int_{-2}^{0}(2x+4)dx+C\displaystyle\int_{0}^{2}(4-2x)dx=2C\displaystyle\int_{0}^{2}(4-2x)dx=$

$=2C(4x-x^2)\Bigg|_0^2=2C(8-4)=8C=1$

$C=0,125$

$f_{\xi_1}(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\xi_1\xi_2}(x,y)dy=0,125\cdot \displaystyle\int_{-2}^{2}dy=0,5$

$f_{\xi_2}(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\xi_1\xi_2}(x,y)dx=0,125\cdot \displaystyle\int_{-2}^{2}dy=0,5$

$$f_{\xi_1\xi_2}(x,y)\ne f_{\xi_1}(x)\cdot f_{\xi_2}(y)\;\;\;\;\;(0,125\ne 0,25)$ => зависимы?

[ewert]

Ну, у Вас там маргинальные плотности постоянны. Что, разумеется, неверно (не говоря уж об отсутствии ссылок на ограничения на аргументы -- просто по картинке очевидно неверно).

[mad1math]

Может вот так?

$f_{\xi_1}(x)=\begin{cases} 0,125\displaystyle\int_{-x-2}^{x+2}dy,\;\; \text{если}\;\;\; -2\leqslant x\leqslant 0\\ 0,125\cdot \displaystyle\int_{x-2}^{2-x}dy,\;\; \text{если}\;\;\; 0\leqslant x\leqslant 2\\ 0, \text{если}\;\;\; x\in]0;2[ \end{cases}$ ????

[ИСН]

Так-то лучше (в последней строчке опечатка, а так всё ОК). А что эти интегралы: берутся, можно свернуть, или придётся так и оставить?

[--mS--]

mad1math в сообщении #658185 писал(а):

Найдем $C$ из условия нормировки.

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\xi_1\xi_2}(x,y)(x,y)dxdy=C\displaystyle\int_{-2}^{0}dx\displaystyle\int_{-x-2}^{x+2}dy+C\displaystyle\int_{0}^{2}dx\displaystyle\int_{x-2}^{2-x}dy=$

$=C\displaystyle\int_{-2}^{0}(2x+4)dx+C\displaystyle\int_{0}^{2}(4-2x)dx=2C\displaystyle\int_{0}^{2}(4-2x)dx=$

$=2C(4x-x^2)\Bigg|_0^2=2C(8-4)=8C=1$

$C=0,125$

Мама дорогая, зачем же так сложно? У Вас над областью на постоянной высоте $C$ висит такая же квадратная картонка. Ужели объём области под картонкой нужно находить интегрированием?

[mad1math]

ИСН в сообщении #658208 писал(а):

Так-то лучше (в последней строчке опечатка, а так всё ОК). А что эти интегралы: берутся, можно свернуть, или придётся так и оставить?

Спасибо, а что за опечатка?

$f_{\xi_1}(x)=\begin{cases} 0,125\displaystyle\int_{-x-2}^{x+2}dy,\;\; \text{если}\;\;\; -2\leqslant x\leqslant 0\\ 0,125\cdot \displaystyle\int_{x-2}^{2-x}dy,\;\; \text{если}\;\;\; 0\leqslant x\leqslant 2\\ 0, \text{если}\;\;\; x\in]0;2[ \end{cases}$

$f_{\xi_1}(x)=\begin{cases} 0,125(2x+4),\;\; \text{если}\;\;\; -2\leqslant x\leqslant 0\\ 0,125(4-2x),\;\; \text{если}\;\;\; 0\leqslant x\leqslant 2\\ 0, \text{если}\;\;\; x\in]0;2[ \end{cases}$

$f_{\xi_2}(y)=\begin{cases} 0,125\displaystyle\int_{-y-2}^{y+2}dy,\;\; \text{если}\;\;\; -2\leqslant y\leqslant 0\\ 0,125\cdot \displaystyle\int_{y-2}^{2-y}dy,\;\; \text{если}\;\;\; 0\leqslant x\leqslant 2\\ 0, \text{если}\;\;\; x\in]0;2[ \end{cases}$

$f_{\xi_2}(y)=\begin{cases} 0,125(2y+4),\;\; \text{если}\;\;\; -2\leqslant x\leqslant 0\\ 0,125(4-2y),\;\; \text{если}\;\;\; 0\leqslant y\leqslant 2\\ 0, \text{если}\;\;\; y\in]0;2[ \end{cases}$

Проверяем равенство $f_{\xi_1\xi_2}(x,y)?=? f_{\xi_1}(x)\cdot f_{\xi_2}(y)$

А как его проверить? Так ведь в лоб не перемножить плотности? Если для которых это неравенство не выполняется, тогда случайные величины зависимы. Верно?

-- 14.12.2012, 14:12 --

--mS-- в сообщении #658220 писал(а):

Мама дорогая, зачем же так сложно? У Вас над областью на постоянной высоте $C$ висит такая же квадратная картонка. Ужели объём области под картонкой нужно находить интегрированием?

Ах, да, тут же просто площадь равна $(2\sqrt{2})^2=8$, значит $C=0,125$

[ИСН]

mad1math в сообщении #658285 писал(а):

а что за опечатка?

Опечатка в описании той области, на которой плотность равна нулю. Что это за область (словами)?

mad1math в сообщении #658285 писал(а):

Мне кажется, что если нашлись точки, для которых это неравенство не выполняется, тогда случайные величины зависимы

Именно
Ну что, нашлись?

[mad1math]

ИСН в сообщении #658290 писал(а):

Ну что, нашлись?

в точке $(1,9;1,9)$

$f_{\xi_1\xi_2}(x,y)=0$, a

$f_{\xi_1}(x)\cdot f_{\xi_2}(y)=0,125(4-2\cdot 1,9)0,125(4-2\cdot 1,9)\ne 0$ .

-- 14.12.2012, 14:24 --

ИСН в сообщении #658290 писал(а):

Опечатка в описании той области, на которой плотность равна нулю. Что это за область (словами)?

Все точки, не лежащие внутри ромба и на границе.

[ИСН]

mad1math в сообщении #658291 писал(а):

в точке $(1,9;1,9)$

Вот она!
Собственно, так бывает всегда, если область, по которой размазана двумерная плотность, не является...

-- Пт, 2012-12-14, 15:26 --

mad1math в сообщении #658291 писал(а):

ИСН в сообщении #658290 писал(а):
Опечатка в описании той области, на которой плотность равна нулю. Что это за область (словами)?


Все точки, не лежащие внутри ромба и на границе.

Извините, я про одномерную плотность. Она где равна нулю?

[mad1math]

ИСН в сообщении #658293 писал(а):

Собственно, так бывает всегда, если область, по которой размазана двумерная плотность, не является...

Прямоугольником, стороны которого параллельны осям координат?

-- 14.12.2012, 14:31 --

ИСН в сообщении #658293 писал(а):

Извините, я про одномерную плотность. Она где равна нулю?

Вне интервала $[-2;2]$ . Я обозначал $]-2;2[$ как дополнение отрезка $[-2;2]$, так как не знаю как пишется значок не принадлежит....

[ИСН]

mad1math в сообщении #658297 писал(а):

Прямоугольником, стороны которого параллельны осям координат?

Да. Или всей плоскостью.

-- Пт, 2012-12-14, 15:33 --

mad1math в сообщении #658297 писал(а):

Вне интервала $[-2;2]$

Ну!? А там написано что?

[mad1math]

Я обозначал $]-2;2[$ как дополнение отрезка $[-2;2]$, так как не знаю как пишется значок не принадлежит....

[ИСН]

Хрен с ним с непринадлежит! ($\notin$, если что.) Числа какие указаны!?

[mad1math]

ИСН в сообщении #658305 писал(а):

Хрен с ним с непринадлежит! ($\notin$, если что.) Числа какие указаны!?

Спасибо! Теперь понятно) $\notin [-2;2]$

[mad1math]

А как найти функцию распределения в этой же задаче?

$F_{\xi_1\xi_2}(x,y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\xi_1\xi_2}(x,y)(x,y)dxdy$

Можно ли так?

1) $x\le -2\;\;\;\;\;\;\;\;F_{\xi_1\xi_2}(x,y)=0$

2) $-2<x\le 0\;\;\;\;\;\;\;\;F_{\xi_1\xi_2}(x,y)=0,125\displaystyle\int_{-2}^{x}dt\displaystyle\int_{-t-2}^{t+2}dy$

3) $0<x\le 2\;\;\;\;\;\;\;\;F_{\xi_1\xi_2}(x,y)=0,125\displaystyle\int_{-2}^{0}dt\displaystyle\int_{-t-2}^{t+2}dy+0,125\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\int_{t-2}^{2-t}dy$

4) $x\ge 2\;\;\;\;\;\;\;\;F_{\xi_1\xi_2}(x,y)=1$