слабая непрерывность скалярного произведения

[Oleg Zubelevich]

Вот дурацкий вопрос, наверное. Пусть $H$ -- действительное гильбертово пространство.

Является ли функционал $x\mapsto(x,y)$ непрерывным в слабой топологии $H$ ($y$ фиксирвано)?

Предположим это так. Возьмем произвольную последовательность $x_n\to 0$ слабо сходящуюся к нулю.
И рассмотрим последовательность функционалов $f_n(x)=(x,x_n)$. Эти функционалы сходятся к нулю поточечно.

Положим $K=\{x_n\}\cup\{0\}$. Это множество слабо предкомпактно. По теореме Банаха-Штейнгауза функционалы $f_n(x)$ сходятся к нулю равномерно на $K$. В частности $f_n(x_n)=\|x_n\|^2\to 0$. Чего, вообще говоря, быть не может.

[ewert]

Слабое $x_n\to 0$ в точности означает, что $(x_n,y)\to0$ для любого вообще $y$, вот в т.ч. и для этого фиксированного. Т.е. любой линейный ограниченный функционал непрерывен относительно слабой сходимости просто по определению слабой сходимости. Или я не понял вопроса.

[Oleg Zubelevich]

под непрерывностью в слабой топологии подразумевается топологическая непрерывность: для любой направленности $x_\lambda$ слабо сходящейся к $x$ имеем $(x_\lambda,y)\to (x,y)$. Вот у меня получается, что это не так. Что странно.

[fancier]

.

[Oleg Zubelevich]

Эдвардс Функциональный Анализ

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #658279 писал(а):

Положим $K=\{x_n\}\cup\{0\}$. Это множество слабо предкомпактно.

Даже компактно. Но ведь слабо же!

[Oleg Zubelevich]

И каков ответ на мой вопрос?

[ewert]

Я ничего не понял на той картинке, кроме одного: предкомпактность там совершенно определённо подразумевается обычная, а не слабая.

[Oleg Zubelevich]

предкомпактность там подразумевается в топологии соответствующего пространства (ccылку я дописал, можете убедиться). И что бы применить эту теорему я ввожу в $H$ слабую топологию.

-- Пт дек 14, 2012 15:45:47 --

либо там с бочечностью что-то не так

[Oleg Zubelevich]

переклинило. разобрался: скалярное произведение, конечно, непрерывно в слабой топологии, гильбертово пространство не бочечно относительно слабой топологии, Банаха-Штейнгауза применять нельзя