Слабая непрерывность функционала

[fatra]

Есть такая задача.
Пусть $H$ - гильбертово пространство, $A$ - линейный ограниченный самосопряженный оператор на $H$. Функционал определяется как $\phi(x)=(Ax,x)$.
Вопрос: будет ли этот функционал слабо непрерывным?
Я пробовал доказать слабую непрерывность, но у меня не получилось. Предполагаю, что слабой непрерывности нет. Но, как построить контрпример, не могу придумать.

[Oleg Zubelevich]

слабая непрерывность есть

[fatra]

Может я неправильное определение использовал. Я использовал такое:
Функционал $\phi$ слабо непрерывен, если $\phi(x_n) \to \phi(x)$ для всех слабо сходящихся последовательностей.

[ewert]

fatra в сообщении #658258 писал(а):

Функционал $\phi$ слабо непрерывен, если $\phi(x_n) \to \phi(x)$ для всех слабо сходящихся последовательностей.

А если в качестве оператора взять просто единичный?...

[fatra]

Тогда $\phi(x)=||x||^2$

[Oleg Zubelevich]

[fatra]

Есть подозрение, что при таком определении для единичного оператора слабая сходимость будет совпадать с сильной. То есть определение неправильное?

[ewert]

fatra в сообщении #658264 писал(а):

Тогда $\phi(x)=||x||^2$

Ну и что тогда с непрерывностью (например, если последовательность слабо сходится к нулю)?...

[fatra]

Чесно говоря, это определение я придумал сам по аналогии с другими определениями, так как не нашел в книге. Может, кто подскажет, где можно найти определение в той форме, которую можно легко применить к этой задаче.

[fatra]

Спасибо за помощь.
Похоже удалость доказать, что функционал непрерывен, из чего следует его слабая непрерывность.

[ewert]

fatra в сообщении #658308 писал(а):

Похоже удалость доказать, что функционал непрерывен, из чего следует его слабая непрерывность.

Наоборот. Из сильной сходимости следует слабая сходимость -- и, соответственно, из слабой непрерывности следовала бы сильная непрерывность.