Дана функция...доказать...

[lelik566]

Здравствуйте! Прошу у вас помощи в вот таком задании на доказательство :
Дано:
Функция f(x) непрерывна на $\mathbb{R}$
$\lim_{x \to \infty }f(x)=5$.
Множество $E=\left \{ x\in \mathbb{R}\mid f(x)\geqslant 8 \right \},E\neq \o .$
Доказать:
а) f ограничена на $\mathbb{R}$
б) существует $\sup E < +\infty $
в) $\sup E\in E$
Натолкните пожалуйста на мысль, какие теоремы о непрерывности здесь лучше применить.

[arseniiv]

Дано значение только этого одного предела? Тогда (а) не всегда верно. Возьмите, например, функцию $5 - e^{-x}$.

(А ещё немного про $\TeX$)

$\sup$ набирается \sup — дополнительно ещё черта \ — она показывает, что это специальный оператор.
Пустое множество — это $\varnothing$ \varnothing, а не $\O$; последнее — это буква, в русских текстах не встречающаяся.

[lelik566]

arseniiv в сообщении #657080 писал(а):

Дано значение только этого одного предела? Тогда (а) не всегда верно. Возьмите, например, функцию $5 - e^{-x}$.

(А ещё немного про $\TeX$)

$\sup$ набирается \sup — дополнительно ещё черта \ — она показывает, что это специальный оператор.
Пустое множество — это $\varnothing$ \varnothing, а не $\O$; последнее — это буква, в русских текстах не встречающаяся.

Спасибо за замечания - сейчас исправлю. Второй предел нам не дан, к сожалению. =( Без него никак?

[fancier]

arseniiv в сообщении #657080 писал(а):

Дано значение только этого одного предела? Тогда (а) не всегда верно. Возьмите, например, функцию $5 - e^{-x}$.

А разве $\lim_{x\rightarrow \infty}(5 - e^{-x})=5$?

[Henrylee]

fancier в сообщении #657091 писал(а):

А разве $\lim_{x\rightarrow \infty}(5 - e^{-x})=5$?

Конечно

[fancier]

Henrylee в сообщении #657092 писал(а):

Конечно

Вот оно, оказывается, что.

[lelik566]

А что же делать то тогда?

[fancier]

lelik566 в сообщении #657098 писал(а):

А что же делать то тогда?

Начинать решать задачу надо с хорошего знания определений.

[lelik566]

fancier в сообщении #657103 писал(а):

lelik566 в сообщении #657098 писал(а):

А что же делать то тогда?

Начинать решать задачу надо с хорошего знания определений.

Определения и теоремы, связанные с непрерывностью, знаю. а вот правильно из применить пока не получается...

[fancier]

Цитата:

Определения и теоремы, связанные с непрерывностью, знаю. а вот правильно из применить пока не получается...

А определение предела функции при $x\rightarrow \infty$ знаете?

[gris]

В этой задаче предполагается, что предел и на плюс, и на минус бесконечности равен 5.

[fancier]

gris в сообщении #657110 писал(а):

В этой задаче предполагается, что предел и на плюс, и на минус бесконечности равен 5.

Вообще-то не "в этой задаче предполагается", а согласно определению $\lim_{x\rightarrow \infty}$ -- конкретная задача здесь не причем.

[lelik566]

Цитата:

А определение предела функции при $x\rightarrow \infty$ знаете?

Знаю. Для любого "эпселлон" существует N>0, что для любого х выполняется следующее:
модуль х больше либо равен N, модуль f(x)-A меньше либо равен "эпесллон".

[gris]

Ну я уже понял, что Вы имели в виду
К сожалению, не во всех курсах и учебниках это растолковывается достаточно понятно. 68% спрашивающих и 87% отвечающих под бесконечностью без знака понимают именно плюс бесконечность.

[lelik566]

хм. вроде бы это определение и исчерпывает пункт а) вопроса?Или ограниченность - это сразу и сверху и снизу?