Руст писал(а):
Непонятно, откуда появилось такое решение.
В моём решении есть изъян: я его получил не без помощи компьютера.

, значит,

. Пусть НОД(m,n)=a, m=ap, n=aq. Получаем: apq | (p+q)(ap+aq+1), откуда a | (p+q). Предположив, что решение возможно при a = p+q (т.е. m=p(p+q), n=q(p+q)), получаем, что

, откуда, имея в виду, что p и q взаимно просты, получаем систему:

,

.
Первые 3 решения этой системы (1,2), (2,5), (5,13) я нашёл вручную. Потом подключил компьютер и нашёл ещё: (13,34) и (34,89). Как человек, претендующий на звание культурного, я помню первые 12 членов последовательности Фибоначчи наизусть

, поэтому я её сразу узнал. Остальное --- дело техники.
Руст писал(а):
Обозначив

, вначале убеждаемся, что натуральное решение имеется только при k=3 (в целых получается так же при k=1).
(1+1)/2+(2+1)/1=4.