Комбинаторная задача

[ex-math]

Пусть у меня есть $k_1$ одинаковых объектов типа 1, $k_2$ одинаковых объектов типа 2, ..., $k_l$ одинаковых объектов типа $l$. Сколько упорядоченных $n$-ок я могу из них составить? Интересует что-то более простое и обозримое, нежели

$$ \sum_{\substack{0\leqslant i_1\leqslant k_1,\ldots,0\leqslant i_l\leqslant k_l\\i_1+\ldots+i_l=n}}\frac{n!}{i_1!\ldots i_l!}. $$

[Whitaker]

ex-math
Если я правильно понял, то в условии также $k_1+k_2+\dots+k_l=n?$ А чем Вам не нравится вышеуказанная формула?

[--mS--]

Если бы сумма $k_j$ равнялась $n$, ТС не потребовалось бы никакой суммы по $i_j$, дающим $n$. И вопроса бы не возникло.

Я полагаю (но я тут не очень крупный спец), что упростить исходную сумму нельзя.

[ex-math]

Да, $k=k_1+\ldots+k_l$ и $n$ никак не связаны.
В случае $k=n,n-1,1$ и т.п. еще как-то обозримо получается.
А можно ли что-то придумать для $k$ порядка $n/2$?
Или если $n$ -- четно, для $k=n/2$.

[bot]

ex-math в сообщении #656601 писал(а):

Да, $k=k_1+\ldots+k_l$ и $n$ никак не связаны.

Дык тогда будут не $n-$ки, а $k-$ки.

[ex-math]

Прошу прощения, перепутал.
В моем предыдущем сообщении надо $k$ и $n$ поменять местами
Например, пусть $k=14$, $n=7$.

[bot]

Не вижу никакого cуслика $k$ в формуле.

[--mS--]

Мороз, что ли, на всех действует? $k=k_1+\ldots+k_l$. ТС интересует число упорядоченных $n$-ок. В ситуациях, когда $n$ около $k/2$, а не около единицы или $k$.

[bot]

(Оффтоп)

Разговоры про $k$ воспринял как какое-то изменение суммирования. А без них всё прозрачно.

Ну и чего ждём ... хорошего? Для $l=2$ в формула, в частности при $k_1=k, k_2=n$ даёт $\sum\limits_{i=0}^k C_n^i$

Чтобы удовлетворить допусловию $n$ около $k/2$, возьмём $k_1=4s, k_2=6s, n=5s$, тогда получим $\sum\limits_{i=0}^{4s}C_{5s}^i$

[ex-math]

Ну это понятно. Сложности возникают, когда $l$ не слишком мало.
Если, к примеру, $k_1=4$, $k_2=4$, $k_3=2$, $k_4=2$, $k_5=1$, $k_6=1$, т.е. $k=14$, а $n=7$?

[bot]

Ну если это понятно, то должно быть также понятно, что наивно ожидать упрощения общей формулы в частностях, которые включают случаи, в которых число слагаемых вычисляется без проблем. Вы по-прежнему ждёте упрощения в случаях, когда даже число этих слагаемых нуждается в подсчёте (через рекуррентности, к примеру)?

[ex-math]

В комбинаторике очень часто можно взглянуть на задачу под немного другим углом и получить легко то, что под прежним углом не видно. Но это, наверно, не тот случай.

[bot]

ex-math в сообщении #658040 писал(а):

В комбинаторике очень часто можно взглянуть на задачу под немного другим углом и получить легко то, что под прежним углом не видно.

Если предмет не виден под некоторым углом, то бессмысленно надеяться, что он будет виден под любым углом из некоторого диапазона, включающем этот некоторый.

ex-math в сообщении #658040 писал(а):

Но это, наверно, Так что это заведомо не тот случай.

[ex-math]

Скорее всего Вы правы.
Но лично я не стал бы делать такие категоричные заявления, даже будь я специалистом в комбинаторике.
Спасибо всем принявшим участие в обсуждении.