Найти расширение с данной группой Галуа

[FedorM]

Дана конечная группа $G$. Необходимо предъявить некоторое поле $k$ и его расширение Галуа $K$ так, что $Gal(K / k) = G$.

В случае $S_n$ можно сделать так: $K$ - поле рациональных функций от $n$ переменных $t_1, ..., t_n$ (над каким-нибудь полем характеристики $0$), $k$ - подполе симметрических функций. Это будет расширение Галуа т. к. будет являться полем разложения многочлена $(x - t_1)...(x - t_n)$.

Любая конечная группа $G$ изоморфна подгруппе $S_n$, и можно было бы взять промежуточное поле между $k$ и $K$ инвариантное относительно этой группы. Но это будет расширением Галуа только в том случае, если G - нормальная подгруппа в $S_n$. А что делать в общем случае?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом, как написано здесь, после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[VAL]

А откуда взялась задача?
AFAIR, она, мягко говоря, очень трудная.

[xmaister]

А она вообще решена? Где-то видел статью Шафаревича о том, что каждая кончная разрешимая группа является группой Галуа некоторого расширения $\mathbb{Q}$

[Sonic86]

Это вроде обратная задача теории Галуа (Википедия, упомянута она и в Кострикине, или вот сайт со страшным оформлением)

[xmaister]

Sonic86
Спасибо, понятно. А какие интересные следствия можно получить в случае справедливости обратной задачи теории Галуа?

[apriv]

Какая смешная все-таки русская Википедия. То, что там называют «обратной задачей теории Галуа» и помещают в список «открытых проблем», является несложным упражнением. А именно, для данной конечной группы $G$ несложно построить поле $K$ и его подполе $k$ так, что $G$ будет группой Галуа расширения $K/k$. Видимо, это и требуется в первоначальном вопросе. Обратная задача теории Галуа — это все-таки что-то другое.

[FedorM]

Да, конечно. Задача очень сложная если заранее фиксировать поле, например поле рациональных чисел.
Но если этого не делать, то она должна как-то решаться, но я что-то туплю.

[apriv]

Так Вы вроде бы все написали. Посмотрите внимательнее, какое расширение соответствует подгруппе, а какое факторгруппе (для которой как раз нужна нормальность)