Метод Фурье для колебаний струны (уравнение общего вида)

[SirAlex]

Доброго Времени Суток,

Имеется уравнение колебания струны (длинна струны $\pi$):

$\frac {\partial^2 u } {\partial t^2 } = \frac {\partial^2 u } {\partial x^2 }$

При начальных условиях:

$ u(x, 0) = \sin(x)$ \ $ u_t'(x, 0) = 0$ \ $ u(0, t) = u(\pi, t) = t^2 $

Делаем подстановку чтобы привести к случаю с закрепленными концами:
$u(x, t) = U(x, t) + v(x, t)$
$U(x, t) = t^2$

Получаем уравнение для $v$ с закрепленными концами:

$\frac {\partial^2 v } {\partial t^2 } = \frac {\partial^2 v } {\partial x^2 } - 2$

$ v(x, 0) = \sin(x)$ \ $ v_t'(x, 0) = 0$ \ $ v(0, t) = v(\pi, t) = 0 $

Представляем $f(x, t) \ u(x, 0) $ в рядах Фурье:

$f(x, t) = \sum^{\infty}_{n = 1} f_n(t)\sin(nx)$
$v(x, 0) = \sum^{\infty}_{n = 1} v_n(x, 0)\sin(nx)$

Причем
$v_n(x, 0) = \frac 2 \pi \int^{\pi}_{0} u_n(x, 0) \sin(nx)dx$

Если мы делаем разложение $\sin(x)$ в ряд Фурье - то
$v_n(x, 0) = 1 $ при $n = 1$ и ноль при $n > 1$

Правильно ли я разложил $\sin(x)$ ?

Далее. На википедии разложение в ряд Фурье предполагает наличие свободного слагаемого (числа что не под знаком суммы).
Но почему-то в текущей формуле (которую я из книги взял) нету свободного слагаемого.
Как разложить -2 в ряд Фурье?

[SirAlex]

Если $f_n(x, t) = 0$
То получим следующее решение для $v$:
$\sin(x)\cos(t)$
Что неправильно (если подставить в ДУ)

Что я делаю не так?

[wronskian]

-2 можно разложить в ряд Фурье так:

$\[\begin{array}{l} - 2 = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{C_n}\sin nx} \\ {C_n} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi { - 2\sin nx\;dx} \end{array}\]$

[SirAlex]

wronskian в сообщении #655912 писал(а):

-2 можно разложить в ряд Фурье так:

$\[\begin{array}{l} - 2 = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{C_n}\sin nx} \\ {C_n} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi { - 2\sin nx\;dx} \end{array}\]$

Если представить -2 таким образом то есть новая проблема.
Есть следующий ряд Фурье:

$ \frac {4}{\pi}\sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} {\frac {t\cos(nt) - 4\sin(nt)} {n^2} } $

Как определить к какой функции он сходится?

[ewert]

SirAlex в сообщении #655974 писал(а):

Есть следующий ряд Фурье:

$ \frac {4}{\pi}\sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} {\frac {t\cos(nt) - 4\sin(nt)} {n^2} } $

Как определить к какой функции он сходится?

Не имеет значения. К какой сходится -- к такой и сойдётся. Если, конечно, отвлечься от того, что это вообще не ряд Фурье.

[SirAlex]

ewert в сообщении #655978 писал(а):

SirAlex в сообщении #655974 писал(а):

Есть следующий ряд Фурье:

$ \frac {4}{\pi}\sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} {\frac {t\cos(nt) - 4\sin(nt)} {n^2} } $

Как определить к какой функции он сходится?

Не имеет значения. К какой сходится -- к такой и сойдётся. Если, конечно, отвлечься от того, что это вообще не ряд Фурье.

А определить эту функцию можно как-нибудь?

Мне же нужно будет подставить в ДУ чтобы узнать правильно ли я решил.

[ewert]

SirAlex в сообщении #655987 писал(а):

А определить эту функцию можно как-нибудь?

Можно. Она определяется как сумма этого ряда.

[ИСН]

И (всю тему не читал) что это за ряд вообще? Искали вроде функцию двух переменных, нет?

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #655995 писал(а):

что это за ряд вообще?

Это явно был временной множитель при разложении в ряд воистину Фурье (слава Аллаху!) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, но насколько корректно он был выписан -- не вникал. Мне достаточно было того (в смысле меня это достало), что ряд этот -- точно не Фурье.

[SirAlex]

Если разложить -2 таким образом:

$\[\begin{array}{l} - 2 = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{C_n}\sin nx} \\ {C_n} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi { - 2\sin nx\;dx} \end{array}\]$

Причем:

${C_n} = \frac {-8} {\pi n}, n = 2k + 1$

То получим ряд который сходится к -2 (при любом x??)
Я протестил с помощью программы и выяснил что это не так.
Вопрос снова актуален.
Чему же будет равняться $C_n$ если разложить -2 в ряд Фурье?

[ewert]

SirAlex в сообщении #656169 писал(а):

То получим ряд который сходится к -2 (при любом x??)

Естественно, на концах он сходится именно к минус двойке никак не может, но этого от него и не требуется. Достаточно, чтобы он сходился в метрике $L_2([0;\pi])$. Ну заодно он ещё и сходится равномерно на любом строго внутреннем промежутке, но это уже неважно.

[SirAlex]

SirAlex в сообщении #656169 писал(а):

Если разложить -2 таким образом:

$\[\begin{array}{l} - 2 = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{C_n}\sin nx} \\ {C_n} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi { - 2\sin nx\;dx} \end{array}\]$

Причем:

${C_n} = \frac {-8} {\pi n}, n = 2k + 1$

То получим ряд который сходится к -2 (при любом x??)
Я протестил с помощью программы и выяснил что это не так.
Вопрос снова актуален.
Чему же будет равняться $C_n$ если разложить -2 в ряд Фурье?

Извиняюсь, все сходится как надо :)

-- 09.12.2012, 14:24 --

Наконец-то все сошлось.

$ v(x, t) = \sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} {\frac {1} {n} \int\limits_{0}^{t} {\sin(n(t - \tau))\sin(nx)f_n(\tau)\;d\tau}} + \\ + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {(\varphi_n \cos(nt) + \frac {1} {n}\psi_n\sin(nt))\sin(nx)} $

В моем случае:

$\varphi_n = 1 \ if \ n = 1 \wedge \varphi_n = 0 \ if \ n > 1 \\ \psi_n = 0 $

Получаем следующее:

$v(x, t) = \cos(t)\sin(x) + \frac {8} {\pi} \sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} \frac {\sin(nx)(\cos(nt) - 1)} {n^3}$

$u(x, t) = v(x, t) + t^2$

Подставляем наше решение в ДУ:

$2 - \cos(t)\sin(x) - \frac {8} {\pi} \sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} \frac {\sin(nx)\cos(nt)} {n} = \\ = -\cos(t)\sin(x) - \frac {8} {\pi} \sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} \frac {\sin(nx)(\cos(nt) - 1)} {n} $

Упрощаем:

$2 = \frac {8} {\pi} \sum\limits_{n = 2k + 1}^{\infty} \frac {\sin(nx)} {n}$

Ряд что справа сходится к 2 при $x \in (0, \pi)$

Спасибо всем за помощь :)