Метод Эйлера для ОДУ порядка

[KillJoy]

Помогите разобраться откуда взялось выражение для нахождения $y_{i+1}$
Вот есть ОДУ 2 порядка
$y''=F(x,y,y')$
По определению производной
$y'' = \frac{y'(x+h)-y'(x)}{h}=F(x,y,y')$
Откуда
$y'(x+h) = F(x,y,y')h+y'(x)$
или
$y'_{i+1} = y'_{i}+F(x,y,y')h$

Теперь нужной составить выражение для нахождения $y_{i+1}$
Я нашел формулу $y_{i+1} = y_{i}+y'_{i+1}*h$ , но вывести ее не могу.
Прошу помочь понять, откуда взялась эта формула.

[ИСН]

Оттуда же, откуда первая: по определению производной (приложив его к y) видим, что...

[ewert]

KillJoy в сообщении #655976 писал(а):

Я нашел формулу $y_{i+1} = y_{i}+y'_{i+1}*h$ , но вывести ее не могу.
Прошу помочь понять, откуда взялась эта формула.

Для начала попробуйте исправить эту формулу ещё раз (а заодно и уберите звёздочку за ненужностью).

[KillJoy]

С этим разобрался. Ответьте, пожалуйста, еще на один вопрос.
Пусть имеется систему ОДУ порядка n. Задача стоит в решении системы методом Эйлера. Я так понял, что нужно просто решать каждое из уравнений системы методом Эйлера и в ответ записать значения, полученные при решении каждого ОДУ? Или нет?

[TOTAL]

KillJoy в сообщении #656142 писал(а):

Я так понял, что нужно просто решать каждое из уравнений системы методом Эйлера и в ответ записать значения, полученные при решении каждого ОДУ? Или нет?

Что такое "решить уравнение"?

[ewert]

KillJoy в сообщении #656142 писал(а):

Я так понял, что нужно просто решать каждое из уравнений системы методом Эйлера

Как можно решать уравнения системы независимо друг от друга?...

Надо просто записать систему формально как одно векторное уравнение -- и в методе Эйлера в соответствующих местах тоже поставить стрелочки.

[KillJoy]

В таком случае я не понимаю, что должно получиться в ответе. Вот есть у нас систему из двух ОДУ. Решая ее , получаем две функции. А если решаем методом Эйлера, то что должно получиться. Можете привести любой пример?

[TOTAL]

KillJoy в сообщении #656238 писал(а):

В таком случае я не понимаю, что должно получиться в ответе. Вот есть у нас систему из двух ОДУ. Решая ее , получаем две функции. А если решаем методом Эйлера, то что должно получиться. Можете привести любой пример?

Ничто ничему ничего просто так не должно. Найти надо то, что надо найти. Вы что из уравнений ищете?

[ewert]

KillJoy в сообщении #656238 писал(а):

В таком случае я не понимаю, что должно получиться в ответе.

Ничто не обязано получаться. Что получится -- то и получится.

ewert в сообщении #656154 писал(а):

-- и в методе Эйлера в соответствующих местах тоже поставить стрелочки.

Вы хоть попытались то сделать -- ну хоть на бумажке?...

[KillJoy]

Каждое из уравнений системы по отдельности я могу решить. Но как решать их в системе я понять не могу. Поэтому я и прошу вас объяснить или привести пример решения.

[nikvic]

KillJoy в сообщении #656238 писал(а):

В таком случае я не понимаю, что должно получиться в ответе. Вот есть у нас систему из двух ОДУ. Решая ее , получаем две функции. А если решаем методом Эйлера, то что должно получиться. Можете привести любой пример?

Должны получиться и сама функция, и её производные - так что для ОДУ второго порядка "в полном ответе" получите аж 3 функции.

[ewert]

KillJoy в сообщении #656337 писал(а):

Каждое из уравнений системы по отдельности я могу решить.

Не сможете в принципе. Т.е. это просто принципиально невозможно.

Если уж ваш курс дорос до численных методов -- значит, в каком-то из младших семестров обязана была быть и теория дифуров. Хоть в каком-то, ну пусть в хоть сколько-то куцем виде. И там непременно должна была быть тема насчёт сведения одного уравнения высшего порядка к системе уравнений первого. Вот эту тему и ищите.

[KillJoy]

Значит я не понимаю, что такое система ОДУ.
Приведите, пожалуйста пример какой-нибудь системы ОДУ (только не в общем виде)

[ИСН]

Лучше Вы приведите.

[KillJoy]

Пусть, например, дана такая система

$x'' = F(t,x,y,x',y')$
$y'' = G(t,x,y,x',y')$

Делаем замены

$x=x_1,y=x_2, x'=x_3=x'_1,y'=x_4=x'_2$

Получаем систему

$x'_1=x_3$
$y'_2=x_2$
$x'_2=F(t,x_1,x_2,x_3,x_4)$
$x'_2=G(t,x_1,x_2,x_3,x_4)$

Начальные условия

$x_1(0)=x_3(0)=1 , x_2(0)=x_4(0)=2$

По методу Эйлера я должен вычислить

$x_{1_{i+1}},x_{2_{i+1}},x_{3_{i+1}},x_{4_{i+1}}$

Напишите, пожалуйста, формулы, по которым их вычислять?.