Диофантово уравнение, открытая проблема из Матиясевича

[Sonic86]

В книге Матиясевича 10-я проблема Гильберта в главе 2 приведено упражнение 2.10:

Матиясевич писал(а):

2.10. Покажите, что если уравнение $9(u^2+7v^2)-7(r^2+7s^2)=2$ имеет лишь конечное число решений, то существует диофантово отношение, имеющее экспоненциальный рост.

Комментарий: ... на ЭВМ было найдено решение
$u=525692038369576, v=1556327039191013,$ $r=2484616164142152, s=1381783865776981$
... Интерес к решению этой задачи связан с т.н. однократными диофантовыми представлениями

Это же уравнение упомянуто в русской Википедии (я там уже немного испохабил статью )
Оказывается, несложно доказать, что это уравнение имеет бесконечное множество решений. Решение описано на e-science участником Andrey A. Приведу его:

$$9(u^2+7v^2)-7(r^2+7s^2)=2\Leftrightarrow \frac{(3u)^2-2}{7}-7s^2=r^2-(3v)^2$$

Правая часть - разность квадратов. Тогда для каждой пары $(u,s)$, если $\frac{(3u)^2-2}{7}-7s^2\not\equiv 2\pmod 4$, можно подобрать пару $(r,v)$, дающую решение.
Левая часть принимает бесконечное множество значений. Левая часть $\frac{(3u)^2-2}{7}-7s^2\not\equiv 2\pmod 4\Leftrightarrow u\not\equiv s\pmod 2$. Далее, если взять $u\equiv 1\pmod{126}, s\equiv 2\pmod {18}$, то $u\not\equiv s\pmod 2$ и $\frac{(3u)^2-2}{7}-7s^2\equiv 9\pmod{18}$ - левая часть кратна $9$ и тогда $3\mid r, r=3r_1, 3\mid 3s$ и $(r_1,s)$ произвольны.

Правда, судя по тексту в Матиясевиче, их интересовал случай, когда число решений конечно.

upd: формулы исправлены

[victor.l]

Правильное условие можно найти на форуме мехмата МГУ в теме диофантово уравнение от 15.06.11 страница140.

[Sonic86]

victor.l, ссылку можете дать?

[victor.l]

Я же вам написал,где ссылку найти,а первоисточник не я нашел.

[Sonic86]

victor.l в сообщении #655420 писал(а):

Я же вам написал,где ссылку найти,а первоисточник не я нашел.

Я не прошу ссылку на первоисточник. Я прошу ссылку на сайт

victor.l в сообщении #655383 писал(а):

на форуме мехмата МГУ в теме диофантово уравнение от 15.06.11 страница140.

Или Вы думаете, что каждый, кто это читает, должен идти в гугл, гуглить форум МГУ (но вообще один? или их несколько), потом там искать все темы от 15.06.2011, отбирать темы с не менее чем 140 страницами и все их перебирать, да?

[victor.l]

А мне было интересно что за проблемы в википедии,поспрошал народ,нашли мне добрые люди первоисточник,а вам на ваши проблемы10 минут потратить жалко. Обед у меня кончился до вечера не появлюсь.

[Sonic86]

[nnosipov]

Там опечатка, имелось в виду $9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2$.

[scwec]

Sonic86, с ходу не понял, Вы что-то доказали или внесли изменение в Википедию, узнав чужое доказательство? Честно, и слова доброго не стоит эта теорема.
Ваш талант бльшего стоит.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #655471 писал(а):

Там опечатка, имелось в виду $9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2$.

Ааа, вот оно что. Тогда все понятно, спасибо большое!

scwec в сообщении #655542 писал(а):

Sonic86, с ходу не понял, Вы что-то доказали или внесли изменение в Википедию, узнав чужое доказательство? Честно, и слова доброго не стоит эта теорема.

Я ничего не доказывал, доказал Andrey A, а я в диофантовых уравнениях слаб, просто проверил выкладки и запостил сюда и статью в Вики подправил. Я достаточно формально отреагировал, не думал, что в книге опечатка. Хотя бы Википедию я смогу исправить.

(Оффтоп)

scwec в сообщении #655542 писал(а):

Ваш талант большего стоит.

У меня нет таланта.

[scwec]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #655597 писал(а):

У меня нет таланта

Во-первых, Вы себя недооцениваете, во-вторых, мне очень хотелось сказать Вам что-то приятное.

[Sonic86]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #655757 писал(а):

Во-первых, Вы себя недооцениваете, во-вторых, мне очень хотелось сказать Вам что-то приятное.

Спасибо, конечно

Блин, у меня опять фрагментация сознания. В книге-то правильная формулировка приведена: $9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2$. А в Вики была неправильная. А я ее прочитал и даже не осознал это

Тогда тема смысла не имеет. Получается, нашли ошибку в Википедии и исправили ее. Все.