Функция Жуковского

[Ward]

Здравствуйте, друзья!

Найти образ $\{|z|<1, \text{Im}z>0\}$ при отображении $w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$

Мое решение: Наше рассматриваемое множество - верхний полукруг радиуса 1. Рассмотрим куда перейдут границы нашего множества при отображении. У меня получилось, что:
1) дуга полуокружности у меня переходит в отрезок $[-1;1]$
2) отрезок $[-1;1]$ переходит в $(-\infty;-1]\cup[1; +\infty)$
Ну и в ответе у меня соответственно получается, что образом отображения будет $\mathbb{C}\backslash\{{\text{Re} w=0}\}$, а в книге написано, что образом отображения будет расширенная комплексная плоскость с размером $(-1;1)$

Помогите пожалуйста разобраться.

[ewert]

Ward в сообщении #654505 писал(а):

у меня соответственно получается, что образом отображения будет $\mathbb{C}\backslash\{{\text{Re} w=0}\}$, а в книге написано, что образом отображения будет расширенная комплексная плоскость с размером $(-1;1)$

Ни то, ни другое неверно: образом будет нижняя полуплоскость (естественно, не расширенная).

[Ward]

ewert
да я перепроверил задачу образом отображения у меня получилось нижняя полуплоскость, т.е. $\text{Im}w<0$, а почему не расширенная можете объяснить?

[ewert]

Потому, что бесконечность -- это образ нуля, который не входит в исходную область.

[Ward]

ewert
Большое Вас спасибо! Благодарю Вас!