Четыре касающиеся окружности

[Lesobrod]

Известна теорема:
Если четыре окружности образуют "цикл", касаясь друг друга,
то точки касания лежат на пятой окружности.
Для некоторых целей мне нужен алгоритм "обратной" задачи (и по некоторым данным я знаю, что он существует )

На окружности (пятой) даны четыре "свободные" точки. Как провести четыре
окружности так, чтобы они касались друг друга в этих точках?
Вот апплет на GeoGebra (нужен Java-плагин):
http://www.geogebratube.org/material/show/id/23871
В данном случае я строю каждую окружность по трём точкам - две касания (красные ромбики) и третья - параметр (крестик).

Думаю, что одна окружность может быть произвольной, т.е. проходить через любые две соседние точки касания и третью точку-параметр.
А вот как построить остальные, чтобы они чотко замыкались?!
Наверняка придётся отказаться от построения "по трём точкам".
Еще пара параметров будут свободными (возможно, радиусы ?),
а вот остальное надо как-то вывести.

Возможно аналитическое решение, но хотелось бы не громоздкое.

(Оффтоп)

Если найдём решение, будет бонус - красивая демонстрация
"Ожерелья Индры" на ГеоГебре. Кое-что уже есть
http://www.geogebratube.org/material/show/id/22913
Там кнопочка "Necklace" строит четыре симметрично-касающиеся окружности по параметру p. Но это, конечно, скучновато. Надо еще пару параметров.

[zhoraster]

Легко. Провели в этих точках касательные, вершины полученного четырехугольника объявили центрами.

[Lesobrod]

Огромное спасибо! Поставленная задача решена.
Но...не замыкается ожерелье диавольское!!


Так понимаю, что окружности должны быть ортогональны:
- либо все четыре - красной базовой. Но это, скорее всего, то что я уже сделал
как самый симметричный случай;

- либо две зелёных - одной базовой окружности, а две синие - другой базовой.
При этом красная и обе другие базовые должны быть концентричны.

Вот это по ходу и будет экстаз. Но как его достичь...

[zhoraster]

Сформулируйте вопрос толком! Что за ожерелье и что за экстаз, которого надо достичь.

[Lesobrod]

Вот здесь про ожерелье и экстаз ))
http://biblio.mccme.ru/node/2411/shop
А вопрос я уточнил - нужна ортогональность окружностей,
или всех четырёх, или попарная.

[zhoraster]

Если построить так, как я описал, то они будут ортогональны исходной окружности.

А вот насчет одновременно касаться и быть ортогональными попарно -- это что-то вы нафантазировали.

[TOTAL]

Lesobrod в сообщении #653639 писал(а):

Если четыре окружности образуют "цикл", касаясь друг друга,

Это как?

[Lesobrod]

Я понял, в чём проблема и хотел бы вернуть вопрос.
Решение zhoraster верное, но не единственное!
Вот пример окружностей с точками касания, лежащими, конечно,
на одной окружности, но с центрами в совершенно других местах.

Судя по всему, мне нужно именно это решение.

(Ортогональность, конечно, автоматом идёт)

-- Вт дек 04, 2012 08:59:31 --

TOTAL в сообщении #653906 писал(а):

Lesobrod в сообщении #653639 писал(а):

Если четыре окружности образуют "цикл", касаясь друг друга,

Это как?

Гммм, ну я уж столько картинок нарисовал, что "как" - поняно!
А вот где еще могут быть центры, кроме решения zhoraster?!

[TOTAL]

Lesobrod в сообщении #653907 писал(а):

Гммм, ну я уж столько картинок нарисовал, что "как" - поняно!

Не хотите объяснить - ну и не надо.

[Lesobrod]

(Оффтоп)

Ну вот...dxdy не могут простую задачку решить.

Итак, на "базовой" окружности даны четыре точки P, Q, R, S.
Из её центра проводим лучи через эти точки и строим биссектрисы
углов меду соседними лучами (голубые линии).
Очевидно, искомые центры касающихся окружностей могут лежать только
на этих биссектрисах. Один из них можно выбрать произвольно (лишь бы на биссектрисе). Это и будет пятая точка-параметр H (красные ромбики).
Из неё проводим лучи к двум соседним точкам-параметрам (на данном рисунке
это R и S) Точки пересечения этих лучей с соседними биссектрисами и дадут еще два искомых центра. Из одного из них проводим луч
к следующей из точек касания - на оставшейся биссектрисе получаем четвертый центр, три из которых (черные точки) - зависимые.



Построенные на них окружности всегда будут касаться в точках P, Q, R, S.
При одном из положений свободного центра H получиться решение zhoraster,
но смещаяя её, можно увидеть бесконечное множество других решений.

Вполне возможно, однако, что и это решение не исчерпывает все случаи.

[zhoraster]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»

Lesobrod в сообщении #653929 писал(а):

Ну вот...dxdy не могут простую задачку решить.

И не смогут, пока Вы не сформулируете четко задачу и предмет обсуждения. До этих пор тема будет в "Карантине". Не забудьте также оформить формулы как следует (односимвольные тоже).