Сколько решений у интегрального уравнения.

[Morkonwen]

Здравствуйте! Сколько есть линейно независимых непрерывных дифференцируемых функция f(x), удовлетворяющих уравнению $\int_0^\infty\frac{f(x)}{1+(y-x)^2}dx=1$ ? спасибо!

[Dan B-Yallay]

Deleted. Мусор удалён.

[Morkonwen]

Dan B-Yallay в сообщении #652528 писал(а):

Deleted. Мусор удалён.

хватит даже оценочных соображений.

(я то ставлю, что их несчетное множество )

[DLL]

А сколько существует решений у уравнения?

$$ \int\limits_0^\infty {g(x)dx = 1}? $$

[Oleg Zubelevich]

Morkonwen в сообщении #652491 писал(а):

Здравствуйте! Сколько есть линейно независимых непрерывных дифференцируемых функция f(x), удовлетворяющих уравнению $\int_0^\infty\frac{f(x)}{1+(y-x)^2}dx=1$ ? спасибо!

если $f\in L^\infty(\mathbb{R}_+)$ и равенство выполнено для всех $y\in\mathbb{R}$ то решений нет, в смысле нет таких функций $f$

[Dan B-Yallay]

Прошу уточнения: что это за параметр $y$?
Интеграл должен быть равен единице независимо от его значения?

Upd. Опередили...

[Morkonwen]

Извините, не уточнил - нет параметр y пробегает конечное число значений и положителен. То есть имеем как бы систему уравнений с разными y. Все числа действительные.

[Dan B-Yallay]

Если множество значений (не обязательно конечное) параметра $y$ ограничено сверху некоторым числом $M$, то можно рассматривать лишь те функции $f(x)$, которые равны нулю на $[0,M]$. После чего задача сводится к

DLL в сообщении #652599 писал(а):

А сколько существует решений у уравнения?

$$ \int\limits_0^\infty {g(x)dx = 1}? $$

Правда, нижний предел будет $M$, но это уже неважно

[Slip]

Morkonwen в сообщении #652702 писал(а):

Извините, не уточнил - нет параметр y пробегает конечное число значений и положителен. То есть имеем как бы систему уравнений с разными y. Все числа действительные.

Если все интересующие значения $y$ это $y_1,\ldots,y_n$, то обозначив $g_i(x)=\frac{1}{1+(x-y_i)^2}$ можно переписать вашу задачу так: найти все $f(x)\in L_2(0,+\infty)$ что $(f,g_1)=\ldots=(f,g_n)=1$. Раскладываем $f$ и $g_i$ в ряд Фурье по любой ортонормированной системе и получаем, что эти равенства задают конечное число линейных соотношений на коэф-ты Фурье $f(x)$. Поэтому таких $f(x)$ будет бесконечное число.

Ну или, еще проще, дополнить систему $g_1(x),\ldots,g_n(x)$ до ортогональной. Тогда искомыми будут те и только те ф-ии, у которых будут единичные коэф-ты Фурье при $g_i$.