Задачи по вариационному исчислению

[pmlisky]

Здравствуйте.
Мне необходимо решить следующую задачку по вар. исчислению.
Найти экстремаль функционала:
$J[y(x)]=\frac{1}{2}\int^{1}_{0}y''^{2}dx$ c начальными условиями
$y(0)=0$, $y(1)=1$, $y'(0)=1$, $y'(1)=1$

Я составил уравнение Эйлера-Пуассона. Нашёл его общее решение, но заданных начальных условий не достаточно для нахождения всех констант.
Это значит, что экстремаль не существует или нужно что-то ещё делать?

[ИСН]

Как такое получилось? У Вас сколько условий? А констант сколько?

-- Пн, 2012-11-26, 18:17 --

а экстремаль, конечно, существует, и очевидна безо всяких диффуров, на глаз.

[pmlisky]

Решение уравнения $y^{IV}=0$ есть
$y=C_{1}x^3+C_{2}x^2+C_{3}x+C_{4}$.
Подставляем первое условие: находим, что $C_{4}=0$.
Также можно найти, что $C_{3}=1$
Но вот третье и четвёртое условия дают $C_{1}+C_{2}=0$
Т.е. бесконечное количество вариантов для $C_{1}$ и $C_{2}$

Я не специалист, чтобы на глаз её найти.

[Slip]

pmlisky в сообщении #650006 писал(а):

Но вот третье и четвёртое условия дают $C_1+C_2=0$

третье дает это, а вот четвертое - совсем другое.

А чтобы тут увидеть экстремаль, не надо быть специалистом ;) какой минимум у квадрата? а может, с нашими условиями он на чем-то хорошем сразу и достигается?

[pmlisky]

Т. е. $C_{1}$ и $C_{2}$ можно определить единственным образом?

Минимум у квадрата? Вы имеете в виду вершину параболы?

[ИСН]

Можно сказать и так, но вообще-то эти красоты здесь лишние. Что стоит под интегралом? Насколько малым мы его можем сделать? Можем меньше нуля?

[Slip]

pmlisky в сообщении #650026 писал(а):

Минимум у квадрата? Вы имеете в виду вершину параболы?

Я имею в виду квадрат, который под интегралом в определении функционала. Вот вам уже и ИСН еще более прозрачно намекнул;)

И да, константы определяются однозначно.

[pmlisky]

Я разобрался с $C_1$ и $C_2$. Спасибо, что нашли ошибку.
Действительно, из 4-го условия имеем: $3C_1+2C_2=0$, т. е. $C_1=0$ и $C_2=0$
Тогда решение $y=x$.

Квадрат меньше нуля сделать никак нельзя, значит в точке 0 минимум?

[ИСН]

Вот-вот. А что значит это "в точке 0" в наших терминах? У кого 0? И что это влечёт для y?

[pmlisky]

Ммм... подождите. Я значит ещё не решил задачу?
А я хотел уже написать: ответ $y=x$.

В точке $x=0$, я вижу только, что и $y=0$.

[ИСН]

ИСН в сообщении #650044 писал(а):

А что значит это "в точке 0" в наших терминах? У кого 0?

Ещё раз задумайтесь над этим вопросом. Кто это должен быть 0? Может, это z? Может, это чёрный кот виноват?

-- Пн, 2012-11-26, 19:59 --

Решил ли человек задачу, когда он её технически решил, но сомневается, решил или нет - это вопрос философский. Давайте так. Перед Вами стоит сфинкс. Надо ответ, иначе сожрёт. И если ответ неправильный, тоже сожрёт. Дадите этот ответ? Верите в него? Да? Нет? Почему?

[pmlisky]

Вы прямо как мой преподаватель. Он мне однажды половину баллов срезал за сомнения, хотя ответ был изначально верный (ещё есть ведущий Дм. Дибров, который тоже любил спросить: "Это окончательный ответ?")

Ещё я однажды думал почему $0^0=1$. Но разумного ответа так и не нашёл

[ИСН]

И это правильно. Верный ответ мог у человека получиться случайно, а наша цель - знание.
Так как со сфинксом-то?

[pmlisky]

Сфинксу ответ дам, чтобы не сожрал без попытки.

А предмет "Вар. исчисление", соглашусь, понимаю с трудом (какова его суть и что это за "точка 0"). Гораздо понятнее мат. анализ, дифф. уравнения, дискретная математика.

[ИСН]

Ну и правильно. А какие могут быть сомнения? Вы диффур нашли? Нашли. Решили в общем виде? Решили. Краевые подставили? Да не вопрос, вот они. Ну и что тут может сломаться?

-- Пн, 2012-11-26, 20:32 --

Хотите продолжить разговор о том, почему ответ виден безо всякого диффура? (Вообще-то это редкая случайность.)