Исследовать последовательность операторов на сходимость

[ARD_ElEcTrO]

Привет, ребят.

Прошу помочь и пояснить момент со сходимостью операторов на примере:

Есть последовательность операторов:
$A_{n}x=(\frac{\alpha_{n+1}}{ln(n+1)},\frac{\alpha_{n+2}}{ln(n+2)},....)$

Необходимо исследовать их на равномерную и поточечную сходимости в пространстве $l_2$, $x=(a_1,a_2,....)$ принадлежит $l_2$


Так как из равномерной сходимости следует поточечная сходимость, то достаточно установить условие равномерной сходимости. Однако, я не совсем воспринимаю, как это осуществить.

Запишем условие равномерной сходимости:

Последовательность ${T_n}$ от 1 до $\infty$ равномерно сходится к $T$, если $|| T_n - T||\rightarrow 0$

[Slip]

А как думаете, к чему эта последовательность сходится?

[ARD_ElEcTrO]

Slip

Ну... Я попробовал её ограничить.

$||A_n x||^2=|\frac{\alpha_{n+1}}{\ln(n+1)}|^2+|\frac{\alpha_{n+2}}{\ln(n+2)}|^2+...=(\frac{|a_{n+1}|}{\ln(n+1)})^2+(\frac{|a_{n+2}|}{\ln(n+2)})^2+...=\frac{1}{(\ln(n+1))^2}|a_{n+1}|^2+\frac{1}{(\ln(n+2))^2}|a_{n+2}|^2+...\le \frac{1}{(\ln(n+2))^2}||x||^2$

Отсюда, $||A_n||\le \frac{1}{\ln(n+2)}$

[Slip]

Ну вот вы уже практически все и сделали. Осталось заметить, что из написанного неравенства следует сходимость к ...

[ARD_ElEcTrO]

Slip


Так как $\ln$ $\rightarrow$ $+\infty$, значит $\frac{1}{\ln(n+2)}\rightarrow 0 $, следовательно $||A_n|| \rightarrow 0$

[Slip]

Теперь осталось только заметить, что

ARD_ElEcTrO в сообщении #649872 писал(а):

Последовательность от 1 до $\infty$ равномерно сходится к $T$, если $||T_n-T||\to0$

и

ARD_ElEcTrO в сообщении #649930 писал(а):

$||A_n|| \rightarrow 0$

очень похожи. И сказать наконец, к чему же сходится последовательность $A_n$

[ARD_ElEcTrO]

Slip

Ага! Выходит, что $A_n \rightarrow A$, откуда и следует равномерная сходимость? Значит, можем утверждать и о поточечной сходимости.

[Slip]

А почему не к $B$? или не к $C$? или не к $T$?
Что такое $A$?

[ARD_ElEcTrO]

Slip

$A$ - оператор. Т.е. выше надо было записать так: $||A_n ||\rightarrow ||A||$ ?

[Slip]

Какой оператор?

[ARD_ElEcTrO]

Slip

Такой, что будет выполняться:

$||A_n-A||\rightarrow0$

[Slip]

И для какого оператора это выполняется в вашем случае?

Чтобы доказать сходимость по определению, этот оператор надо предъявить. что в данном случае совсем не сложно. Если его явно не указывать - то пользоваться, например, критерием Коши.

[ARD_ElEcTrO]

Slip в сообщении #649976 писал(а):

Чтобы доказать сходимость по определению, этот оператор надо предъявить. что в данном случае совсем не сложно.

А каким именно образом можно его определить?

[Slip]

У нас есть $||A_n||\to0$. Мы хотим, чтобы было $||A_n-A||\to0$. Чему же может быть равен этот загадочный $A$? Дальше уже и не знаю как подсказать ;)

[ARD_ElEcTrO]

Slip
То есть, оператор $A$ должен быть нулевой $A=0$. После этого мы можем утверждать о равномерной сходимости, из которой следует поточечная. Верно? :)