Задача на центр инерции

[Dosaev]

Доказать, что в любой системе материальных точек в каждый момент времени можно выбрать такие точки системы, числом не более 4-х, что если этим точкам приписать надлежащим образом подобранные массы, то их центр инерции будет совпадать с центром инерции исходной системы.

Как вообще начать рассуждать? Предположим, что такие точки существуют, и пусть их массы будут $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$? И почему именно не более 4-х?

[Pphantom]

Вам надо найти линейную комбинацию нескольких известных векторов, задающую некоторый требуемый. При этом на коэффициенты линейной комбинации наложено некоторое дополнительное ограничение... ни на какие мысли не наводит?

[Dosaev]

$\frac{\mu_1}{M}\vec r_1+ \frac{\mu_2}{M}\vec r_2 + \frac{\mu_3}{M}\vec r_3 + \frac{\mu_4}{M}\vec r_4 $ - \frac{\sum_i^N m_i \vec r_i}{M} = 0
В сумме также встретятся векторы $\vec r_1, \vec r_2, \vec r_3, \vec r_4$, но уже с массами $m_1, m_2, m_3, m_4$. В эту линейную комбинацию имели в виду?

[Pphantom]

Я имел в виду вторую. Как именно вычислялось положение барицентра, в данном случае не слишком важно, считайте, что оно у Вас есть уже готовое.

[Dosaev]

Я так понимаю, вы это имели в виду
$\frac{\mu_1}{M} \vec r_1 + \frac{\mu_2}{M} \vec r_2 + \frac{\mu_3}{M} \vec r_3 + \frac{\mu_4}{M} \vec r_4 - \vec r_C = 0$, то можно ли сказать, что вектор $\vec r_c$ совпадает с центром масс тетраэдра $<r_1, r_2, r_3, r_4>$?

[Pphantom]

Dosaev в сообщении #649475 писал(а):

то можно ли сказать, что вектор $\vec r_c$ совпадает с центром масс тетраэдра

Да. Причем, заметьте, центр масс тетраэдра подбором положительных коэффициентов можно загнать в любую точку, лишь бы она была внутри тэтраэдра.

[Dosaev]

А что понимать под $M$? $M = \mu_1 + \mu_2 + \mu_3 + \mu_4$?

-- Вс ноя 25, 2012 19:28:32 --

Кстати в одномерном случае для двух векторов, я понял, как подбираются массы. Как отношение длин отрезка (например стержня). Но вот не могу провести аналогию для большего количества векторов.

[Pphantom]

Dosaev в сообщении #649488 писал(а):

А что понимать под $M$? $M = \mu_1 + \mu_2 + \mu_3 + \mu_4$?

Да, конечно.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Pphantom в сообщении #649480 писал(а):

Dosaev в сообщении #649475 писал(а):

то можно ли сказать, что вектор $\vec r_c$ совпадает с центром масс тетраэдра

Да. Причем, заметьте, центр масс тетраэдра подбором положительных коэффициентов можно загнать в любую точку, лишь бы она была внутри тэтраэдра.

Простите, то есть вы не накладываете условия, чтобы эти точки ещё и двигались как надо?

[Pphantom]

Munin в сообщении #649586 писал(а):

Простите, то есть вы не накладываете условия, чтобы эти точки ещё и двигались как надо?

Зачем? В исходном условии упоминается "в каждый момент времени", так что движение точек роли не играет.

[Munin]

Да, я неправильно прочитал условие, и воспринял его слишком сложно. В том варианте, как я воспринял, я и не знаю, как решать, и само утверждение для меня далеко не очевидно...

[Pphantom]

Munin в сообщении #649598 писал(а):

В том варианте, как я воспринял, я и не знаю, как решать, и само утверждение для меня далеко не очевидно...

Предполагалось, что такой выбор точек универсален для всех моментов времени? Да, тогда оно просто неверно.

[Munin]

Pphantom в сообщении #649622 писал(а):

Да, тогда оно просто неверно.

Ф-ф-фух...

[Dosaev]

Pphantom в сообщении #649593 писал(а):

В исходном условии упоминается "в каждый момент времени", так что движение точек роли не играет.

Да это так, скорее.
В ответе сказано, что отношение массы каждой такой точки к массе всей системы равно отношению объемов тетраэдров, таких что, например для 1-ой точки, это будет $\frac{V_{234C}}{V_1234}.$ и т. д. Почему это так, непонятно. Я только для одномерного случая это осмыслил. Это будет деление отрезка в данном отношении. Интуитивно понятно, что по аналогии, но я не могу это формально описать.