Доказательство непрерывности функции

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Вопрос, на который я не могу пока сам ответить: можно ли по некоторому множеству точек определить, является ли функция, графику которой они принадлежат, непрерывной? А если с дополнительным условием- у нас ограничена степень функции?

Единственное о чём догадался, это то, что в принципе можно проверить, будет ли это вообще функцией.

[xmaister]

Если функция рассматривается как $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, то она одназначно определяется своим графиком. А исследовать её на непрерывность то можно. Быть может Вы имеете в виду алгоритмическую проверку?

[Nikolai Moskvitin]

xmaister в сообщении #649267 писал(а):

Если функция рассматривается как $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, то она одназначно определяется своим графиком.

дело в том, что не дан весь график, даны только координаты нескольких точек (впрочем, их можно найти сколько угодно). Как я понимаю, например, через три точки может проходить и окружность, и парабола.

xmaister в сообщении #649267 писал(а):

Быть может Вы имеете в виду алгоритмическую проверку?

Да!
xmaister, я не сразу догадался, где сделал не тот шаг. Так я докажу только существование. Да, я хотел вычислить координаты нескольких точек в трёхмерном декартовом пространстве, используя аналитическую геометрию.
А затем по численным значениям определить, является ли третья координата функцией от двух первых. Хорошо бы ещё найти само выражение для этой функции.

[xmaister]

Nikolai Moskvitin в сообщении #649274 писал(а):

через три точки может проходить и окружность, и парабола.

Через три точки проходит что угодно. Уточните класс кривых, которые Вы ищите.

[Nikolai Moskvitin]

xmaister в сообщении #649278 писал(а):

Уточните класс кривых, которые Вы ищите.

Уточню: в уравнении их графиков не должна присутстутвовать степень выше 3. Это что-то даст?

[ewert]

Nikolai Moskvitin в сообщении #649291 писал(а):

Уточню: в уравнении их графиков не должна присутстутвовать степень выше 3.

Этого недостаточно. Уточняйте далее: не должны в них присутствовать члены вида $(\tg x)^4$ или $\tg(x^4)$? Потом можно будет разобраться и со всеми остальными функциями, существующими в мире.

[Nikolai Moskvitin]

ewert в сообщении #649300 писал(а):

Уточняйте далее: не должны в них присутствовать члены вида $(\tg x)^4$ или $\tg(x^4)$?

Видимо, первое. Ещё могу сказать, что скорее всего это не тригонометрическая функция. Только ограничение (насчёт степени) в общем-то не доказано, это просто довольно вероятное утверждение.

[arseniiv]

Многочлен?

[Nikolai Moskvitin]

arseniiv в сообщении #649396 писал(а):

Многочлен?

да!

[arseniiv]

Ну и чего городить про непрерывность, когда имеется в виду существование? Берёте многочлен нужной вам степени и делаете из него столько уравнений, сколько у вас точек. Теперь смотрите, сколько у системы решений. Сколько их, столько и многочленов данной степени, проходящих через ваши точки.

[Nikolai Moskvitin]

arseniiv в сообщении #649415 писал(а):

берёте многочлен нужной вам степени и делаете из него столько уравнений, сколько у вас точек. Теперь смотрите, сколько у системы решений. Сколько их, столько и многочленов данной степени, проходящих через ваши точки.

Я совсем некорректно употребил термин "многочлен". Имелась в виду функция от двух переменных, причём, вероятнее всего квадратичная. Как, например, $d^2=R^2-2Rr$. Я так понял, что если определитель системы будет равен нулю, решений будет бесконечно много, это означает, что вопрос получит отрицательное решение. Верно?