Квадрат и равенство углов

[Nikolai Moskvitin]

В начале ноября 2012 придумал задачу:

Условие: на стороне AD квадрата ABCD как на хорде построена окружность, пересекающая другие стороны квадрата: BC в точках E и F, а CD- в точке H. На отрезке DE взята середина I. Отрезки IC и FH пересекаются в точке K. Центр квадрата O.

Доказать: $\angle{OKE}=\angle{ICB}$

Вот интересно, кто как решит?...



Uploaded with **invalid link**

[ins-]

I think it is a beautiful problem and it can be solved with trigonometry but the calculations are not very short. Probably there are more ways to solve it but I cannot find them.

[Naf2000]

$\angle{ICB}=\angle{FED}=\angle{EKA}=\angle{EKO}$

[Батороев]

Naf2000 в сообщении #646317 писал(а):

$\angle{ICB}=\angle{FED}=\angle{EKA}=\angle{EKO}$

$\angle{EKA}\ne\angle{EKO}$

[Nikolai Moskvitin]

ins- в сообщении #646053 писал(а):

Probably there are more ways to solve it but I cannot find them.

Other ways really exist. For example, when I created this problem I thought in another way. But the aim of such topics is to find many interesting new facts. In your variant it can be new formula. So you can write your variant!
ps If my English is not very well, you understand that I'm russian.

Naf2000 в сообщении #646317 писал(а):

Первые два угла равны. То, что равны второй и третий- уже интересно. Может, обоснуете? (Я сам подумаю). А вот третий и четвёртый не равны, безусловно

[ins-]

I'm very busy recently but when I find more time I'll write a solution.

P.S. My English is not good too - I'm Bulgarian, but I understand both Russian and English.

[Naf2000]

Рисунок доставляет конечно, OI должно быть перпендикулярно ED

[Батороев]

Naf2000
Т. О - не центр окружности, а центр квадрата.

[Naf2000]

исправил

[Dimoniada]

Т.к. $\angle ECI = \angle CEI = \angle EIO$, то остаётся доказать, что $OIKE$ - вписанный четырёхугольник. Или что $\angle OEI = \angle OKI$. Пусть $CI \bigcap AD$ в точке $E'$ (видно, что $E'$ симметрична $E$ относительно прямой $OI$, $FO = OE'$, $FOE'$ - одна прямая). Остаётся показать, что $\angle OE'I = \angle OKI$. Равенство $\angle CFK = \angle EDH = \angle KCH$ показывает, что $\angle ECI = 90^\circ$ $\Rightarrow$ $\triangle FKE'$ прямоугольный и $KO$ - "медиана к гипотенузе" $\Rightarrow$ $\angle OE'I = \angle OKI$.

[Nikolai Moskvitin]

Хорошее решение и будет попроще, чем было у меня.

Спасибо!