для любого

оператор

имеет нулевое ядро, в силу теоремы единственности для задачи Коши.
Это ещё ни о чём не говорит -- в принципе, спектр мог бы быть чисто непрерывным.
имеет резольвентное множество, совпадающее со всей комплексной плоскостью?
Правильно, но это надо доказывать. Выписывайте резольвенту явно.