Асимптоты

[Limit79]

Есть функция, например: $y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.

Она имеет две вертикальные асимптоты: $x = \pm 1$ . Как можно обосновать это? Мои варианты:

а) Так при $x = \pm 1$ функция терпит разрывы второго рода.
б) Так как $x = \pm 1$ не входят в область определения функции.

Спасибо.

[ИСН]

Есть функция, например: $y=\sin{1\over x}$.
Входит ли $x = 0$ в область определения функции?
Разрыв какого рода функция терпит при $x = 0$?
Ой, и что у нас тут с асимптотами?

[Limit79]

ИСН
$x=0$ не входит в область определения.
А касательно типа точки разрыва ответить затрудняюсь, ибо возникает сложность в вычисление пределов.
А асимптоты, вроде, нет.

-- 07.11.2012, 15:09 --

Или же можно обосновать тем, что односторонние пределы в этой точки равны бесконечности?

-- 07.11.2012, 15:33 --

Возник тут второй вопрос, приблизительно по этой же теме:

Чему будет равен предел:
$\lim_{x \to 0} \arctg\left ( \frac{1}{x} \right )$

-- 07.11.2012, 15:50 --

Отвечу, на свой вопрос:

Предела $\lim_{x \to 0} \arctg\left ( \frac{1}{x} \right )$ не существует.

Однако предел справа равен $\frac{\pi}{2}$, а слева $-\frac{\pi}{2}$, то есть в точке $x=0$ функция $y=\arctg\left ( \frac{1}{x} \right )$ имеет точку разрыва первого рода, а именно точку "скачка" функции?

[mihailm]

Limit79 в [url=http://dxdy.ru/post641101.html#p641101] писал(а):

...Мои варианты:
...

По определению не пробовали?

[Someone]

Limit79, а что такое асимптота?

[Limit79]

mihailm

По определению получается как раз так:

Цитата:

Или же можно обосновать тем, что односторонние пределы в этой точки равны бесконечности?

-- 07.11.2012, 20:20 --

Someone
Это линия, к которой стремится функция, при стремлении аргумента к бесконечности.

[Dan B-Yallay]

Limit79 в сообщении #641249 писал(а):

Это линия, к которой стремится функция, при стремлении аргумента к бесконечности.

A какие асимптоты Вы знаете для функции $f(x) = 1/x$?

[gris]

Кстати, обычно же на асимптоты анализируются достаточно "хорошие" функции, и во многих курсах для вертикальной асимптоты требуется лишь существование в точке бесконечных односторонних пределов. Но некоторые авторы требуют ещё непрерывность в некотором интервале и даже монотонность.
Что исключает разные диковинные случаи. Но для них и сама сущность асимптоты исчезает.

[Limit79]

Dan B-Yallay
Видимо не только к бесконечности.

-- 07.11.2012, 20:47 --

По этой же теме: функция $y=\ln(x^2-2x)$ непрерывна на всей области определения, ведь так?

-- 07.11.2012, 20:54 --

Хотя я не много не понимаю, как функция может иметь разрыв на области определения?

Или это может быть например т.н. скачок?

[mihailm]

Limit79 в сообщении #641256 писал(а):

...
По этой же теме: функция $y=\ln(x^2-2x)$ непрерывна на всей области определения, ведь так?

Да, конечно. Вообще любая элементарная функция (грубо говоря такая, которую можно записать одной формулой, составленной из приличных функций) непрерывна в области определения.

[Limit79]

mihailm
А если есть задание на исследование функции, и там есть пункт "непрерывность". Там исследуется непрерывность на области определения, или вообще непрерывность? Если вообще непрерывность, то там же нигде разрывов не будет по идее?

-- 07.11.2012, 21:00 --

У этой $y=\ln(x^2-2x)$ функции.

[mihailm]

этот пункт нужен, если функция задана не одной формулой, а например кусочно, или словесно, с помощью предельного перехода и т.п.
Вообще непрерывность совпадает с непрерывностью в области определения)

[Limit79]

mihailm
Так, например, функция $y=\frac{1}{x}$ имеет точку разрыва второго рода, но $x=0$ не входит в область определения функции, но в пункте "непрерывность" надо указать про этот разрыв.

А с $y=\ln(x^2-2x)$ ?

[mihailm]

Limit79 в сообщении #641273 писал(а):

mihailm
Так, например, функция $y=\frac{1}{x}$ имеет точку разрыва второго рода, но $x=0$ не входит в область определения функции, но в пункте "непрерывность" надо указать про этот разрыв.

А с $y=\ln(x^2-2x)$ ?

надо значит надо) указывайте, это учебные фишки, не вводить же пункт разрывность!
согласно определению $y=\frac{1}{x}$ непрерывна везде, но с другой стороны точка ноль это точка разрыва второго рода)
В вашей функции ноль и двойка по всей видимости односторонние точки разрыва второго рода, как то так

[Limit79]

mihailm
Спасибо!

-- 07.11.2012, 21:31 --

Если производную функции $y=\ln(x^2-2x)$ приравнять к нулю, то получим $x=1$, и производная не существует при $x=0$ и $x=2$, но эти точки не входят в область определения функции, получается, экстремумов нет?