Дифференцируемость распределения полинома

[маткиб]

Пусть $P(x_1,\ldots,x_n)$ - вещественный полином, $D$ - n-мерный шар (параллелепипед, симплекс, ещё какая-нибудь похожая бяка, не важно). Доказать (или опровергнуть), что функция $f(y)$, равная мере Лебега множества $\{x\in D:\ P(x)\leq y\}$ дифференцируема во всех точках, кроме, быть может, конечного числа.

Сам не знаю, как решать, хотя интуитивно утверждение кажется очевидным.

[dgrozev]

If it suits You $f$ is differntiable almost everywhere and it holds even if $P$ is a measurable function.

[маткиб]

dgrozev в сообщении #640821 писал(а):

If it suits You $f$ is differntiable almost everywhere and it holds even if $P$ is a measurable function.

Это тоже было бы интересно, если бы было правдой. Но, кажется, это неправда: можно построить монотонную сумму заборчиков (нигде не дифференцируемую функцию одной переменной), а в качестве $P$ взять обратную к ней, тогда $f$ будет нигде не дифференцируема, хотя $P$ даже непрерывна, а не просто измерима.

[dgrozev]

маткиб в сообщении #640895 писал(а):

...можно построить монотонную сумму заборчиков (нигде не дифференцируемую функцию одной переменной)...

You couldn't construct it. Every monotone function is differentiable almost everywhere. It is a known theorem.

[маткиб]

Да, согласен, похоже, есть такая теорема. Тогда "для почти всех точек" - проблемы нет, остаётся - "для всех, кроме конечного числа".