Функциональные ряды.Верно ли равенство

[Mega31]

Помогите решить.
Пусть функции $f_n(x),n=1,2,\dots,$-определены и ограничены на $(-\infty ,+\infty)$ и $f_n(x)$ равномерно сходистя к $\varphi (x)$ на каждом сегменте [a,b].Следует ли отсюда,что

$$\lim_{n\to \infty} \sup_{x} f(x)= \sup_{x} \varphi (x)$$

То есть нам нужно проверить такое равенство.

$$\lim_{n\to \infty} \sup_{x} f(x)= \sup_{x} \lim_{n\to \infty}f(x) $$

Пытался найти контрпример,но не вышло.
Подскажите пожалуйста первые шаги для решения.Совсем ничего не получается

[venco]

Это будет верно на любом закрытом отрезке, но на открытом (например на бесконечности) может быть и не так.
Ну и пример легко подобрать, даже из стандартных функций.

[Cash]

$\varphi (x) = 0$
$f_n(x)$ принимает ровно 2 значения: $0$ и $1$

[ewert]

Mega31 в сообщении #640876 писал(а):

Пытался найти контрпример,но не вышло.

$f_n(x)=\dfrac{x^2}{n+x^2}.$

Всё дело в том, что поведение на конечных сегментах никак не контролирует супремумы, которые могут "достигаться" вне любого из этих сегментов.

[Mega31]

Извиняюсь
В демидовиче опечатка
Вместо

$$f(x)$$

должно быть

$$f_n (x)$$

[Mega31]

ewert в сообщении #641055 писал(а):

Mega31 в сообщении #640876 писал(а):

Пытался найти контрпример,но не вышло.

$f_n(x)=\dfrac{x^2}{n+x^2}.$

Всё дело в том, что поведение на конечных сегментах никак не контролирует супремумы, которые могут "достигаться" вне любого из этих сегментов.

Но данный пример не подходит,так как функция не ограничена

[venco]

Mega31 в сообщении #641334 писал(а):

Но данный пример не подходит,так как функция не ограничена

Вы хорошо подумали?

[Mega31]

venco
Снизу ограничена нулем,а сверху единицей?