Система дифференциальных уравнений.

[Somenoob]

Здравствуйте. Просьба, гляньте решение, где-то ошибка, но не арифметическая. Решаю задачу о перевернутом маятнике:

$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

Сначала диагонализирую матрицу. Нашел собственные числа $\lambda_1 = -\sqrt{ab}$ и $\lambda_2 = \sqrt{ab}$. Составил матрицу, столбцы которой - собственные вектора, для перехода к собственному базису:
$\begin{pmatrix} \sqrt{a/b} & \sqrt{a/b} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Делаю замену, в соответствии с матрицей:
$y_1 = \sqrt{a/b}(x_2-x_1)$
$y_2 = x_2+x_1$

Решаю систему:
$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{ab} & 0 \\ 0 & \sqrt{ab} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$

Решение очевидно $y_1 = y_1(0) e^{-\sqrt{ab}t}$ и $y_2 = y_2(0) e^{\sqrt{ab}t}$
Выражаем обратно иксы. Получаем:
$x_1 = \frac{\sqrt{a/b}y_2-y_1}{2 \sqrt{a/b}}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{a/b}y_2+y_1}{2 \sqrt{a/b}}$

Таким образом, подставляя решения $y_1$ и $y_2$, получаем:
$x_1 = \frac{\sqrt{a/b}y_2(0) e^{\sqrt{ab}t}-y_1(0) e^{-\sqrt{ab}t}}{2 \sqrt{a/b}}$
$x_2 = \frac{\sqrt{a/b}y_2(0) e^{\sqrt{ab}t}+y_1(0) e^{-\sqrt{ab}t}}{2 \sqrt{a/b}}$

Константы выражаются через матрицу из собственных векторов, тоже:
$y_1(0) = \sqrt{a/b}(x_2(0)-x_1(0))$
$y_2(0) = x_2(0)+x_1(0)$
Подставим их в решение:
$x_1 = \frac{\sqrt{a/b}(x_2(0)+x_1(0)) e^{\sqrt{ab}t}-\sqrt{a/b}(x_2(0)-x_1(0)) e^{-\sqrt{ab}t}}{2 \sqrt{a/b}}$
$x_2 = \frac{\sqrt{a/b}(x_2(0)+x_1(0)) e^{\sqrt{ab}t}+\sqrt{a/b}(x_2(0)-x_1(0)) e^{-\sqrt{ab}t}}{2 \sqrt{a/b}}$

На этом этапе проблема. Видно, что $\sqrt{a/b}$ сокращается, потом приводятся подобные слагаемые, и получается:
$x_1 = \frac{1}{2} x_1(0) (e^{\sqrt{ab}t}+e^{-\sqrt{ab}t}) + \frac{1}{2} x_2(0) (e^{\sqrt{ab}t} - e^{-\sqrt{ab}t}) $
Аналогично для $x_2$. Но в ответе получается:
$x_1 = \frac{1}{2} x_1(0) (e^{\sqrt{ab}t}+e^{-\sqrt{ab}t}) + \frac{1}{2 \sqrt{b/a}} x_2(0) (e^{\sqrt{ab}t} - e^{-\sqrt{ab}t}) $

Вопрос, что я сделал не так? Спасибо.

[ewert]

Somenoob в сообщении #640258 писал(а):

Нашел собственные числа $\lambda_1 = -\sqrt{ab}$ и $\lambda_2 = \sqrt{ab}$. Составил матрицу, столбцы которой - собственные вектора, для перехода к собственному базису:
$\begin{pmatrix} \sqrt{a/b} & \sqrt{a/b} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ну наведите же порядок в записи собственных векторов.

Somenoob в сообщении #640258 писал(а):

Делаю замену, в соответствии с матрицей:
$y_1 = \sqrt{a/b}(x_2-x_1)$
$y_2 = x_2+x_1$

Вы не в ту сторону крутите: так (если в предыдущем пункте навести-таки порядок) описывался бы переход, наоборот, от новых координат к старым.

[Oleg Zubelevich]

Somenoob в сообщении #640258 писал(а):

Решаю задачу о перевернутом маятнике:

$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

Сначала диагонализирую матрицу.

а вам такой вариант в голову не приходил: $\ddot x_1=abx_1$

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #640272 писал(а):

а вам такой вариант в голову не приходил: $\ddot x_1=abx_1$

Он наверняка запрещён правилами игры.

[Somenoob]

ewert в сообщении #640270 писал(а):

Somenoob в сообщении #640258 писал(а):

Нашел собственные числа $\lambda_1 = -\sqrt{ab}$ и $\lambda_2 = \sqrt{ab}$. Составил матрицу, столбцы которой - собственные вектора, для перехода к собственному базису:
$\begin{pmatrix} \sqrt{a/b} & \sqrt{a/b} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ну наведите же порядок в записи собственных векторов.

Я ошибся в знаке:
$\begin{pmatrix} -\sqrt{a/b} & \sqrt{a/b} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Просто когда сюда переписывал, ошибся.
Теперь верно?

ewert в сообщении #640270 писал(а):

Somenoob в сообщении #640258 писал(а):

Делаю замену, в соответствии с матрицей:
$y_1 = \sqrt{a/b}(x_2-x_1)$
$y_2 = x_2+x_1$

Вы не в ту сторону крутите: так (если в предыдущем пункте навести-таки порядок) описывался бы переход, наоборот, от новых координат к старым.

То есть, надо крутить так:
$y_1 = x_2+x_1$
$y_2 = \sqrt{a/b}(x_2-x_1)$
Верно?

[ewert]

Somenoob в сообщении #640278 писал(а):

То есть, надо крутить так:
$y_1 = x_2+x_1$
$y_2 = \sqrt{a/b}(x_2-x_1)$
Верно?

Вы что, значки наугад тасуете, что ли? Тем более неверно.

Если $\{\vec a_1,\vec a_2\}$ -- собственный базис, то переход от новых координат $(y_1,y_2)^T$ к старым $(x_1,x_2)^T$ даётся столбцовым равенством:

$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=y_1\,\vec a_1+y_2\,\vec a_2.$

Просто по определению базиса и координат. Если Вам нужен обратный переход -- решайте эту систему относительно игреков. Это очень просто делается; только зачем Вам это?...

[Somenoob]

ewert в сообщении #640285 писал(а):

Если $\{\vec a_1,\vec a_2\}$ -- собственный базис, то переход от новых координат $(y_1,y_2)^T$ к старым $(x_1,x_2)^T$ даётся столбцовым равенством:

$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=y_1\,\vec a_1+y_2\,\vec a_2.$

Просто по определению базиса и координат. Если Вам нужен обратный переход -- решайте эту систему относительно игреков

Спасибо ewert, все получилось.

ewert в сообщении #640285 писал(а):

только зачем Вам это?...

Зачем? Учеба требует, преподаватель спрашивает. Вот зачем