Постоянная Эйлера-Маскерони

[nnosipov]

Нужно доказать равенство $\psi(1)=-\gamma$, где $\psi(x)$ --- логарифмическая производная $\Gamma(x)$. Имеем $\psi(n+1) \sim \ln{n}$ (это, наверное, можно вытащить из формулы Стирлинга). Кроме того, $\psi(n+1)=\psi(1)+\sum_{k=1}^n 1/k$ (это очевидно вытекает из функционального уравнения для гамма-функции). Теперь равенство $\psi(1)=-\gamma$ понятно.

[ewert]

nnosipov в сообщении #639999 писал(а):

Имеем $\psi(n+1) \sim \ln{n}$ (это, наверное, можно вытащить из формулы Стирлинга).

Ну не буквально из Стирлинга (это формула лишь асимптотическая и формально так просто её дифференцировать нельзя). Но вот из интегрального представления для производной гамма-функции -- уже довольно легко (если, конечно, помнить, как вообще доказывается формула Стирлинга).

[Padawan]

ewert в сообщении #640093 писал(а):

Ну не буквально из Стирлинга (это формула лишь асимптотическая и формально так просто её дифференцировать нельзя).

Если учесть, что гамма-функция аналитическая, то можно дифференцировать.

[nnosipov]

ewert в сообщении #640093 писал(а):

Ну не буквально из Стирлинга (это формула лишь асимптотическая и формально так просто её дифференцировать нельзя). Но вот из интегрального представления для производной гамма-функции -- уже довольно легко (если, конечно, помнить, как вообще доказывается формула Стирлинга).

Я это и имел в виду, но почему-то написал очень небрежно.

[Padawan]

nnosipov в сообщении #639999 писал(а):

Имеем $\psi(n+1) \sim \ln{n}$

Если точнее, то нужно равенство $\psi(n+1)=\ln n+o(1)$. На самом деле $\psi(n+1)=\ln n \left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)$.

[nnosipov]

Padawan в сообщении #640198 писал(а):

На самом деле $\psi(n+1)=\ln n \left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)$

А разве не $\psi(n+1)=\ln(n)+O(1/n)$?

[Padawan]

nnosipov
Да, Вы правы.

[EtCetera]

Всем большое (хоть и несколько запоздалое) спасибо! Кажется, разобрался.