Приближение нормального распределения распределением Коши.

[reia]

Поставлена задача приблизить стандартное нормальное распределение $N(0,1)$ распределением Коши в смысле минимизации максимального отношения $\max\limits_x \frac{p_N}{p_C}$. Нужно найти оптимальные параметры Коши $x_0$ и $\gamma$.

Получается

$$ \min\limits_{x_0,\gamma}\max\limits_{x} \frac{\sqrt{\pi}}{\gamma\sqrt{2}}\exp\left\{ -\frac{x^2}{2} \right\} \left(\left(x-x_0\right)^2 + \gamma^2\right) $$

Достаточно очевидно (в силу симметрии и того, что пики распределений будут совпадать), что $x_0 = 0$ (и более того, это должно быть правильным ответом). Если принять это предположение, то задача достаточно легко решается поиском производных по $x$, потом по $\gamma$.

Вот только обосновать слова "в силу симметрии" пока не получается. Неплохо было бы, например, поменять местами max и min, но функция не удовлетворяет теореме о минимаксе.
Что еще можно попробовать сделать?

[ewert]

Если $x_0 = 0$, то произведение имеет либо только один локальный максимум в нуле, либо два симметрично расположенных. В любом случае изменение $x_0$ в любую сторону, т.е. сдвиг параболы по горизонтали, монотонно увеличивает значение произведения в одной из точек, которая раньше была локальным максимумом. Т.е. при любом фиксированном $\gamma$ глобальный максимум минимален именно при $x_0 = 0$.

[reia]

Но $\max_x f(x,x_0)$ является функцией от $x_0$. Вы предлагаете рассмотреть эту функцию при $x_0 = 0$ и найти максимум по $x$. Затем предлагается изменить $x_0$, и говорится, что $f(x_{\max},x_0)$ увеличится. Здесь $x_{\max}$ - старый максимум. Но при новом $x_0$ максимум по x будет ведь уже другой, новый, и про значение в нем надо говорить теперь, а не про значение в старом.

Я раз пять пытался это написать нормально, но каждый раз путался. Вроде теперь верно описал

[ewert]

reia в сообщении #640092 писал(а):

Но при новом $x_0$ он максимум по x будет ведь уже другой, новый,

Конечно. Но это и не нужно отслеживать: ведь хотя бы в одной из точек глобального максимума, имевшихся при симметричном расположении, значение функции увеличится при любом сдвиге параболы, т.е. при любом нарушении симметрии. Это ровно и означает, что минимум глобального максимума возможен лишь при симметричной картинке.