Уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решить уравнение:

$$3\sigma (n)=4n+79$$

($\sigma$ -- это сумма делителей)

[Руст]

Во первых $n=2\mod 3$ и $\sigma(n)$ - нечетное, т.е. $n=2^lm^2$, где $m$ нечетное, не делящееся на 3.
Так как $m^2=1\mod 3$, получаем $l-$ нечетное, т.е. $n=2k^2, 3\siggma(n)-4n\ge k^2+9(1+k)$. Соответственно $k\le 5$.
Проверяем $n=2$ не годится, $n=8$ не годится, $n=18$ не годится (делится на 3), $n=32$ не годится.
$n=50$, $3\sigma(50)-200=9*31-200=79$ - решение.

[Профессор Снэйп]

А в сумму делителей $n$ само число $n$ входит?

[Sonic86]

Профессор Снэйп в сообщении #639513 писал(а):

А в сумму делителей $n$ само число $n$ входит?

Да.
$\sigma(n)=\sum\limits_{d\mid n}d$.

[Ktina]

Руст в сообщении #639510 писал(а):

Во первых $n=2\mod 3$ и $\sigma(n)$ - нечетное, т.е. $n=2^lm^2$, где $m$ нечетное, не делящееся на 3.
Так как $m^2=1\mod 3$, получаем $l-$ нечетное, т.е. $n=2k^2, 3\siggma(n)-4n\ge k^2+9(1+k)$. Соответственно $k\le 5$.
Проверяем $n=2$ не годится, $n=8$ не годится, $n=18$ не годится (делится на 3), $n=32$ не годится.
$n=50$, $3\sigma(50)-200=9*31-200=79$ - решение.

Ну, где-то так же, как у Вас:
Нечётная сумма делителей бывает либо у квадратов, либо у удвоенных квадратов. Далее, по остаткам на 3 видим, что квадрат не получается, значит $n$ является удвоенным квадратом (да ещё и не кратным 3). Перебрать этих звирков в диапазоне от 1 до 158 -- уже и ручками можно.
Ответ: $n=50$

-- 03.11.2012, 12:55 --

Профессор Снэйп в сообщении #639513 писал(а):

А в сумму делителей $n$ само число $n$ входит?

(Оффтоп)

Если Вы покажете мне хоть одно натуральное число, не кратное самому себе, обещаю выписать Вам чек на миллион

[bot]

(Оффтоп)

Это вопрос договорённости - могли ведь договориться рассматривать все делители, не только отличные от самого числа, но и от единицы. Другое дело, что это бы стало неудобно - сигма и тау перестали бы быть мультипликативными. Кстати, если не ошибаюсь, совершенные числа первоначально рассматривали как числа, равные сумме всех своих делителей, то есть само число в сумму не включалось, впрочем, может быть, и сигмы у древних греков не было?

[Ktina]

bot в сообщении #639603 писал(а):

(Оффтоп)

Это вопрос договорённости - могли ведь договориться рассматривать все делители, не только отличные от самого числа, но и от единицы. Другое дело, что это бы стало неудобно - сигма и тау перестали бы быть мультипликативными. Кстати, если не ошибаюсь, совершенные числа первоначально рассматривали как числа, равные сумме всех своих делителей, то есть само число в сумму не включалось, впрочем, может быть, и сигмы у древних греков не было?

(Оффтоп)

Теперь я понимаю, почему вместо "Архимедес" говорят "Архимед". Оказывается, у древних греков сигмы не было!
З. Ы. дико извиняюсь за оффтоп!