Доказать, что если <..> то функция является плотностью

[b0b]

Доброго времени суток. Ребят, помогите доказать, либо укажите источник, где это может быть разобрано. Вопрос не очень сложный, может даже очевидный, но нужна строгость.

Если $P\{x\le\xi\le x+\Delta x\}=p(x)\Delta{x}+o(\Delta{x})$, то $p(x)$-плотность случайной величины $\xi$

-- 25.10.2012, 20:41 --

Все, разобрался. )

[mihailm]

выразите пэ большое через пэ маленькое

[--mS--]

b0b в сообщении #635748 писал(а):

Все, разобрался. )

Например, И.П.Натансон, теория функций вещественной переменной, теорема 1 параграфа 8 главы IX.
Если производная $f'(x)$ существует всюду, конечна и суммируема, то $f(x)=f(a)+\int\limits_a^x f'(t)\,dt$.

Последнее равенство в применении к для функции $f(x)=\mathsf P\{\xi < x\}$, $f'(x)=p(x)$ как раз и означает абсолютную непрерывность распределения.

[ewert]

--mS-- в сообщении #635804 писал(а):

Если производная $f'(x)$ существует всюду, конечна и суммируема,

А откуда, кстати, следует, что она суммируема?... (так, немножко на засыпку)

[RIP]

ewert в сообщении #635930 писал(а):

А откуда, кстати, следует, что она суммируема?

Производная функции ограниченной вариации суммируема.