Унитарный многочлен, эллипс, комплексная плоскость

[integral2009]

Есть вопросы, посмотрите, пожалуйста.

1) Пусть на комплексной плоскости отмечены точки $z_1,z_2,z_3$ и пусть $P(z)$ - унитарный многочлен третьей степени, для которого указанные точки являются корнями. Докажите, что корни многочлена $P'(z)$ изогонально сопряжены относительно треугольника $z_1z_2z_3$

Точки $X$ и $Y$ внутри треугольника $ABC$ называют изогонально сопряженными, если $\angle {XAB}=\angle{YAC};\;\;\;\;\angle{XBC}=\angle{YBA};\;\;\;\;\angle{XCA}=\angle{YCB}$

Я так понял, что можно записать, что $P(z)=z^3+az^2+bz+c$

Так как нам известны корни, то по Теореме Виета можно найти коэффициенты:

$\begin{cases} z_1 + z_2 + z_3 = -a\\ z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 = b \\ z_1 z_2 z_3 =-c \end{cases}$

$P'(z)=3z^2+2az+b=0$

$z^*_{1,2}=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{6}$

А как дальше или уже бред написан?

2)Докажите, что корни многочлена $P'(z)$ являются фокусами эллипса, который касается сторон треугольника в их серединах.

А тут ч чего можно начать?

[Padawan]

А что такое унитарный многочлен ? А, наверное, старший коэффициент равен единице. Впервые слышу.

[integral2009]

Padawan в сообщении #634341 писал(а):

А что такое унитарный многочлен ? А, наверное, старший коэффициент равен единице. Впервые слышу.

Да, в Википедии так написано http://ru.wikipedia.org/wiki/Унитарный_многочлен

[Munin]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #634341 писал(а):

А что такое унитарный многочлен ?

Это тот, который обратен своему сопряжённому...

[nnosipov]

1) Считайте точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ лежащими на единичной окружности и воспользуйтесь соотношением Морлея: $z+w+\sigma_3\overline{z}\overline{w}=\sigma_1$, где $w$ --- точка, изогонально сопряжённая к $z$, $\sigma_i$ --- элементарные симметрические многочлены от $z_1$, $z_2$, $z_3$. Доказательство соотношения Морлея см., например, в книге: П.С. Моденов, Задачи по геометрии, М.: Наука, 1979.
2) Доказательство см. на стр. 23 в книге: В.В. Прасолов, Многочлены, М.: МЦНМО, 2001.

[integral2009]

nnosipov в сообщении #634583 писал(а):

1) Считайте точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ лежащими на единичной окружности и воспользуйтесь соотношением Морлея: $z+w+\sigma_3\overline{z}\overline{w}=\sigma_1$, где $w$ --- точка, изогонально сопряжённая к $z$, $\sigma_i$ --- элементарные симметрические многочлены от $z_1$, $z_2$, $z_3$. Доказательство соотношения Морлея см., например, в книге: П.С. Моденов, Задачи по геометрии, М.: Наука, 1979.
2) Доказательство см. на стр. 23 в книге: В.В. Прасолов, Многочлены, М.: МЦНМО, 2001.

Спасибо, разобрался