Плотность вероятности

[vlad_light]

Блиц-вопрос:
Имеем функцию распределения случайной величины:

$$F(x)=0, x\leq 0; F(x)=\frac{x}{16}, 0<x\leq 4; F(x)=1, x>4$$

Верно ли, что плотность данной случайной величины будет равна

$$f(x)=\frac{1}{16} \chi _{[0,4)}(x)+\frac 34 \delta (x-4)$$

[ewert]

vlad_light в сообщении #633888 писал(а):

Верно ли, что плотность данной случайной величины будет равна

$$f(x)=\frac{1}{16} \chi _{[0,4)}(x)+\frac 34 \delta (x-4)$$

Типа того. За исключением того, что дельта-функций среди плотностей вероятности не встречается в принципе (просто по определению плотности вероятности).

[vlad_light]

Цитата:

просто по определению плотности вероятности

Это из-за того, что дельта не является борелевской? А если я вместо неё запишу слабый предел -- это исправит положение?

[Henrylee]

Блиц-ответ.
Нет.
Плотности бывают у абсолютно-непрерывных распределений, а это смесь.

$$ F(x)=\frac14F_1(x)+\frac34F_2(x) $$

[ewert]

vlad_light в сообщении #633899 писал(а):

Это из-за того, что дельта не является борелевской?

Борелевскость тут не при чём, а при чём то, что плотность распределения имеет формальный смысл лишь для непрерывных функций распределения, притом непрерывных не просто, а абсолютно.

[vlad_light]

Цитата:

а это смесь.

я знаю, что смесь. А как из определния плотности вывести, что она определена только для непрерывных?

[Henrylee]

vlad_light в сообщении #633908 писал(а):

Цитата:

а это смесь.

я знаю, что смесь. А как из определния плотности вывести, что она определена только для непрерывных?

Как-то не корректно звучит вопрос. Скорее наоборот. Либо плотность определяется для абсолютно-непрерывных фунций распределения сразу в определении абс.-непр. функций распределения, либо (но в учебниках по ТВ я не припомню, встречал ли такого) следует из теоремы Радона-Никодима, если абсолютная непрерывность меры определяется через меру Лебега.

[vlad_light]

Спасибо, уже разобрался. Да, я имел ввиду определение через меру Лебега и т. Радона-Никодима.