комплексный анализ

[jackx]

Мне нужно проверить равенства

$$\ln z^{2}=2\ln z, \ln|z|^{2}=\ln z + \ln \bar z$$

Но никак не пойму, с чего начать.
Я знаю, что $\ln z = \ln |z|+i \arg z$

[Chernoknizhnik]

Начните с того, что вспомните, как умножаются комплексные числа - что происходит с аргументами, например; что происходит с аргументом числа, когда оно в квадрат возводится, в частности. Далее (в первом равенстве может понадобиться) проверьте, что модуль произведения равен произведению модулей (мультипликативность нормы). Свойства вещественного логарифма от вещественного числа тоже не стоит забывать, норма же вещественна. Ну а дальше дело за малым.

[CptPwnage]

Вообще-то равенства очень странные, нам такие вообще категорически запрещалось писать: комплексные логарифмы это же целые множества, в каком смысле тогда понимать эти утверждения?

[DLL]

Первое равенство неверно.
Положите например: $z = -1$.

[мат-ламер]

CptPwnage в сообщении #632993 писал(а):

в каком смысле тогда понимать эти утверждения?

Типа равенство множеств?

[CptPwnage]

Так-то конечно можно, да, но это не единственная проблема, например для
$\ln{\frac{z-1}{z+1}}$ разрезом (где логарифм разрывен) будет если не путаю отрезок $[1,-1]$, а для $\ln{(z-1)}-\ln{(z+1)}$ объединение двух лучей, так что тут надо аккуратно. Если как равенство множеств, то тоже верно не будет, потому что у правой части период будет в 2 раза больше чем у левой. Основные ветви тоже взять нельзя, разрывы будут разные..