2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 16:58 


07/03/11
690
Цитата:
распределение момента третьего по счёту события потока
Получается, оно равно $Exp (\alpha)$.
Цитата:
найти вероятность одной из двух независимых величин с этим распределением быть меньше другой тоже можете.

$\zeta _1, \zeta _2 \sim Exp(\alpha ), \xi = \zeta _2 - \zeta _1$. $$F_\xi (z)=P(\xi <z)=P(\zeta _2 - \zeta _1<z)=P(\zeta _2< z+ \zeta _1)=\int\int f_{\zeta _1,\zeta _2}(x,y)dxdy=$$ $$//F_{\zeta _1,\zeta _2}(x,y)=P(\zeta _1 < x,\zeta _2 <y)=P(\zeta _1 < x)P(\zeta _2 <y)=F_{\zeta _1}(x)F_{\zeta _2}(y)\Rightarrow f_{\zeta _1,\zeta _2}(x,y)=f_{\zeta _1}(x)f_{\zeta _2}(y)$$$$=\int\limits _0^\infty f_{\zeta _1}(x)(\int\limits _0^{x+z}f_{\zeta _2}(y)dy)dx=\int\limits _0^\infty \alpha e^{-\alpha x}(\int\limits _0^{x+z}\alpha e^{-\alpha y}dy)dx=\alpha ^2\int\limits _0^\infty e^{-\alpha x}(-\frac 1\alpha \left. e^{-\alpha y}\right |_0^{x+z})dx=$$$$=-\alpha \int\limits _0^\infty e^{-\alpha x}(e^{-\alpha (x+z)}-1)dx=\int\limits _0^\infty \alpha e^{-\alpha x}dx - \alpha e^{-\alpha z}\int\limits _0^\infty e^{-2\alpha x}=1+\frac 12 e^{-\alpha z}\left.e^{-2\alpha x}\right |_0^\infty=1-\frac 12 e^{-\alpha z}$$Тогда $P(\zeta _1 <\zeta _2)=1-P(\zeta _1 > \zeta _2)=1-P(\xi <0)=F_\xi (0)=\frac 12$. В принципе, я так и предполагал. Подскажите, как эту вероятность проще найти?
Дальше что-то подскажете? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
vlad_light в сообщении #632482 писал(а):
Цитата:
распределение момента третьего по счёту события потока
Получается, оно равно $Exp (\alpha)$.

Нет, конечно. От нуля до первого - показательное. От первого до второго - тоже показательное. От второго до третьего - тоже. И все независимые. Так каким будет от нуля до третьего?

-- Чт окт 18, 2012 21:13:24 --

А потом, что это такое вычислялось? У Вас два разных потока, с разной интенсивностью - кто такое тут альфа, которое у двух величин оказалось одинаковым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 17:28 


07/03/11
690
Ну, во вторых подсчётах я считал вероятность $P(\zeta _1 < \zeta _2)$, при условии, что $\zeta _1, \zeta _2$ - НОР величины с показательным распределением с параметром $\alpha $. Я так подозреваю, что это не то, что Вы имели ввиду.
Цитата:
Так каким будет от нуля до третьего?

Если я правильно понимаю, то тут что-то типа аддитивности должно работать. Значит будет сумма показательных: $\xi _1+\xi _2+\xi _3 =\zeta \sim \Gamma (3,\frac 1\alpha)$. Верно рассуждаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Теперь верно. Читайте заново условие и вычисляйте нужную вероятность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 19:49 


07/03/11
690
Сейчас попробую...
$\{\xi _i\} \sim Exp(3), \{\zeta _i\}\sim Exp (5)$. Вермя ожидания 3-его события в первом портфеле: $\sum\limits _{i=1}^3 \xi _i=\xi \sim \Gamma (3,\frac 13)$, во втором: $\sum\limits _{i=1}^3 \zeta _i=\zeta \sim \Gamma (3,\frac 15)$. Тогда мне нужно найти $P(\xi < \zeta)=\int\limits _0^\infty f_\xi (x)(\int\limits _0^x f_\zeta (y)dy)dx$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Ну да. Давайте, вычисляйте, сверимся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 20:41 


07/03/11
690
$f_\xi (x)=\frac{3^3}{2!}x^2e^{-3x}, f_\zeta (y)=\frac{5^3}{2!}y^2e^{-5y}$$$P(\xi < \zeta)=\int\limits _0^\infty \frac{3^3}{2!}x^2e^{-3x}(\int\limits _0^x \frac{5^3}{2!}y^2e^{-5y}dy)dx=\frac{3^3\cdot 5^3}{4}\int\limits _0^\infty x^2e^{-3x}(\int\limits _0^x y^2e^{-5y}dy)dx=$$$$=\frac{3^3\cdot 5^3}{4\cdot 5^3}\int\limits _0^\infty x^2e^{-3x}(e^{-5x}(-5x(5x+2)-2)+2)dx=\frac{3^3}{4}\frac{11875}{110592}= 0,7247924804...$$ У Вас также?

 Профиль  
                  
 
 Re: Процес Пуассона
Сообщение18.10.2012, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Надо же, так же. Обычно я в вычислениях провираюсь, но в этот раз совпало.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group