Задание на построение многочлена по корням.

[TamaGOch]

Надо построить многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами по заданным корням. Возможно ли сразу строить с рациональными? или надо строить всё равно через комплексные?
$i$-корень 2ой кратности
$1,2,3$-корни первой кратности
что -то типа $f(x)=(x-i)^2(x-1)(x-2)(x-3)$. Пытался через производную, но скорее всего она тут не при чём. Быть может по интерполяции? хотя нет, и она тут ни при чём...

[мат-ламер]

Если у многочлена с действ. коэф. есть комплексный корень, то и сопряжённое число к нему тоже будет корнем многочлена.

[TamaGOch]

мат-ламер
а, точно, значит $f(x)=(x-i)(x-i)(x-1)(x-2)(x-3)=$
$=(x-i)(x+i)(x-i)(x+i)(x-1)(x-2)(x-3)$?
а, ну да, $i$ - корень $x^2+1$
$f(x)=(x^2+1)^2(x-1)(x-2)(x-3)$

[arseniiv]

Теперь осталось только раскрыть скобки до конца.

[TamaGOch]

arseniiv
ну это само собой))
мат-ламер, спасибо

-- 17.10.2012, 19:36 --

Так, а не подскажете, как можно представить тоже самое, но только с вещественными коэффициентами?

[ИСН]

А это было с какими?

[TamaGOch]

ИСН а вот тут я запутался))) в задании сначала говорится построить с рациональными коэффициентами, затем с вещественными...

[ИСН]

Ну Вы построили? Вижу, построили. У него коэффициенты какие? Вещественные или нет?

[_Ivana]

Если многочлен умножить, к примеру, на $\pi$, то что произойдет с его корнями?

[TamaGOch]

_Ivana корни не изменятся? но разве так можно? в том плане, что для чего же тогда ради этого отдельным пунктом в задании требуется построить с вещ. коэффициентами...

[AKM]

TamaGOch в сообщении #632121 писал(а):

$f(x)=(x-i)(x-i)(x-1)(x-2)(x-3)=$
$=(x-i)(x+i)(x-i)(x+i)(x-1)(x-2)(x-3)$?

Вы написали бесконечно неверное равенство:

$$(x-i)(x-i)(x-1)(x-2)(x-3)\not=(x-i)(x+i)(x-i)(x+i)(x-1)(x-2)(x-3).$$

Следите за руками.

[ИСН]

TamaGOch в сообщении #632170 писал(а):

для чего же тогда ради этого отдельным пунктом в задании требуется построить с вещ. коэффициентами

Думаю, понимание этого является частью задания, поэтому сюда не смотрите, по крайней мере сразу.

(Оффтоп)

Потому что если бы в задании фигурировал корень $\sqrt2$, тогда что? Вот почему.