Найти число всех подмножеств

[larkova_alina]

Задача. Найти число всех подмножеств множества $X^k, $ где $X - $ множество, состоящее из $n$ элементов.

Знаю, что число всех подмножеств (с учетом пустого множества) n-элементного множества равно $2^n.$
Думаю, что ответ $2^{n\cdot k}.$
Правильно?

[mihailm]

Не совсем, с пустым подмножеством k-ку (как читать в отличие от n-ки не знаю) сделать трудно

[Aritaborian]

Думаю, всё же $2^{n^k}$.

[larkova_alina]

Пусть $X={a,b}.$
Рассмотрим $X^2.$
Выпишем все подмножества этого множества.
$\varnothing \times \varnothing;$
$\varnothing \times a;$
$\varnothing \times b;$
$\varnothing \times X;$
$a \times \varnothing;$
$a \times a;$
$a \times b;$
$a \times X;$
$b \times \varnothing;$
$b \times a;$
$b \times b;$
$b \times X;$
$X \times \varnothing;$
$X \times a;$
$X \times b;$
$X \times X.$
Всего 16 подмножеств. $16=2^{2\cdot 2}.$

Теперь в общем.
Имеем $X^k.$
Нужно учесть, что для подмножества $X^k$ важен порядок. Поэтому 1-е подмножество мы можем выбрать $2^n$ способами; 2-е подмножество мы можем выбрать независимо от первого также $2^n$ способами и так далее. То есть получается, что число всех подмножеств равно $(2^n)^k=2^{n\cdot k}.$
Я не правильно рассуждаю?

[Someone]

Что-то чудное Вы пишете. Что такое $X^k$?

[larkova_alina]

Someone в сообщении #631758 писал(а):

Что-то чудное Вы пишете. Что такое $X^k$?

Это декартова степень множества $X.$
$X^k=X\times X \times X \times ...\times X$ (k раз).

[Aritaborian]

Совершенно верно. Но вы как-то неверно это понимаете. Выпишите для начала в явном виде все элементы вашего $X^2$.

[larkova_alina]

Aritaborian в сообщении #631761 писал(а):

Совершенно верно. Но вы как-то неверно это понимаете. Выпишите для начала в явном виде все элементы вашего $X^2$.

Пусть $X=( a,b ) .$ (тут фигурные скобки должны быть, но они почему-то не отображаются.)
Перечислим все элементы $X^2:$
$(\varnothing, \varnothing);$
$(\varnothing, a);$
$(\varnothing, b);$
$(a, \varnothing);$
$(a, a);$
$(a, b);$
$(b, \varnothing);$
$(b, a);$
$(b, b).$
Так?

[Aritaborian]

А вот и нет. Что такое декартово произведение множеств? Дайте определение.

[chessar]

larkova_alina в сообщении #631766 писал(а):

тут фигурные скобки должны быть, но они почему-то не отображаются.

$\{\}$

[larkova_alina]

Aritaborian в сообщении #631770 писал(а):

А вот и нет. Что такое декартово произведение множеств? Дайте определение.

Декартовым произведением множеств $X$ и $Y$ называется множество упорядоченных пар $(x, y),$ где $x\in X$ и $y\in Y.$ Обозначение: $X\times Y.$
Я поняла к чему Вы клоните. Пустое множество является подмножеством множеств $X$ и $Y$, но не является элементом этих множеств.
Тогда все элементы множества $X^2={a,b}\times {a,b}$ будут такими:
$(a,a);$
$(a,b);$
$(b,a);$
$(b,b).$

[ewert]

larkova_alina в сообщении #631756 писал(а):

Выпишем все подмножества этого множества.
$\varnothing \times \varnothing;$

Т.е. Вы полагаете, что подмножество некоторого множества является его элементом?... Это Вы смело.

[Aritaborian]

larkova_alina
Вот. Это правильно. У вас есть множество $X=\{a, b\}$. Какие в нём элементы? $a$ и $b$ ;-) Они и только они могут входить в наши упорядоченные пары. А пустое множество — это не элемент $X$.

[larkova_alina]

Aritaborian в сообщении #631776 писал(а):

larkova_alina
Вот. Это правильно. У вас есть множество $X=\{a, b\}$. Какие в нём элементы? $a$ и $b$ Они и только они могут входить в наши упорядоченные пары. А пустое множество — это не элемент $X$.

Хорошо, но в задаче требуется найти число не элементов $X^k$, а число всех подмножеств.

[Aritaborian]

Сначала определимся, сколько элементов в множестве $X^k$. Сколько их?