Интегралы

[integral2009]

Помогите, пожалуйста, ответить на несколько вопросов...

1) Найти объем тела, ограниченного поверхностями

$y=\sqrt{3x}\;\;\;\;\;\;x+y=6\;\;\;\;\;\;z=4y\;\;\;\;\;\;z=0$

Тут нужно посчитать $\displaystyle\int_{0}^6dx\int_{\sqrt{3x}}^{6-x}dy\int_{0}^{4y}dz$ ?

2)

$\displaystyle\int_{MN}x^2ydx-ydy$

$MN$ - прямая. $M(-1;0)\;\;\;\;\;\;\;N(0;1)$

Можно ли здесь самому выбрать удобный контур или от этого будет зависеть интеграл?

Если нельзя, я бы делал так: уравнение прямой $y=x+1$

$$\displaystyle\int_{MN}x^2ydx-ydy=\displaystyle\int_{-1}^0 \Big(x^2(1+x)-(1+x)(1+x)'\Big)dx= \displaystyle\int_{-1}^0 \Big(x^3+x^2-1-x\Big)dx=$$

$$=\Big(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x-\dfrac{x^2}{2}\Big)\Big|_{-1}^0=0-0,25+\frac{1}{3}-1+0,5=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{12}$$

[Someone]

integral2009 в сообщении #630148 писал(а):

Тут нужно посчитать

Нарисуйте проекцию тела на плоскость $Oxy$.

integral2009 в сообщении #630148 писал(а):

Можно ли здесь самому выбрать удобный контур или от этого будет зависеть интеграл?

Сказано же: прямая. Уже всё выбрано до Вас.

[ole-ole-ole]

Походу тут должно быть, если не вру $0<z<4y,\ \frac{y^2}3<x<6-y,\ 0<y<3$

[Shtorm]

integral2009 в сообщении #630148 писал(а):

Помогите, пожалуйста, ответить на несколько вопросов...

1) Найти объем тела, ограниченного поверхностями

$y=\sqrt{3x}\;\;\;\;\;\;x+y=6\;\;\;\;\;\;z=4y\;\;\;\;\;\;z=0$

Тут нужно посчитать $\displaystyle\int_{0}^6dx\int_{\sqrt{3x}}^{6-x}dy\int_{0}^{4y}dz$ ?

Тут у Вас ошибка в верхнем пределе по x

-- Вс окт 14, 2012 02:42:28 --

ole-ole-ole в сообщении #630583 писал(а):

Походу тут должно быть, если не вру $0<z<4y,\ \frac{y^2}3<x<6-y,\ 0<y<3$

Здесь верно, только неравенство должно быть нестрогое.

[ewert]

Shtorm в сообщении #630594 писал(а):

Тут у Вас ошибка в верхнем пределе по x

Тут, прежде всего, не та область выбрана.

Shtorm в сообщении #630594 писал(а):

только неравенство должно быть нестрогое.

Это-то ещё зачем?...

[Shtorm]

ewert в сообщении #630681 писал(а):

Тут, прежде всего, не та область выбрана.

Да, точно. Если порядок интегрирования брать: сначала по $z$, потом по $y$, потом по $x$, то придётся разбивать на две области интегрирования. Так что действительно проще сначала по $z$, потом по $x$, потом по $y$

ewert в сообщении #630681 писал(а):

Shtorm в сообщении #630594 писал(а):

только неравенство должно быть нестрогое.

Это-то ещё зачем?...

Ну так объём же.

[ewert]

Shtorm в сообщении #630805 писал(а):

Ну так объём же.

А чему равен объём поверхности?...

[Shtorm]

Но и точки, лежащие на поверхности - входят в объём. Если же пишем строгое неравенство - то как будто бы мы их выкидываем из объёма.

[ewert]

Shtorm в сообщении #630813 писал(а):

Но и точки, лежащие на поверхности - входят в объём

В объём не входит вообще ни одной точки, т.к. объём -- это число.

[Shtorm]

ewert, хорошо, тогда так: почему граница области не должна по-Вашему входить в область интегрирования?

[ewert]

Shtorm в сообщении #630836 писал(а):

почему граница области не должна по-Вашему входить в область интегрирования?

Это не по-моему, и самой области это тоже до лампочки. Захочет -- впустит, не захочет -- не станет, или, может, в нерешительности позволит прислониться одним боком; какая разница-то?

[Shtorm]

ewert, зайдём с другого бока:

К примеру, нам нужно найти объём некоего тела, основанием которого служит круг. Мы же аналитически будем вынуждены задавать круг так:

$$x^2+y^2 \leqslant R^2$$

Аналогично будем задавать и область интегрирования.

[Dan B-Yallay]

Shtorm в сообщении #630836 писал(а):

почему граница области не должна по-Вашему входить в область интегрирования?

Не то чтобы не должна, просто не обязана, ибо мера границы (в данном конкретном случае) - нoль. Если не согласны - покажите разницу при интегрировании ограниченной функции по интервалy $(a,b)$ и $[a,b]$.

[Shtorm]

Dan B-Yallay в сообщении #630858 писал(а):

Если не согласны - покажите разницу при интегрировании ограниченной функции по интервалy $(a,b)$ и $[a,b]$.

С этим конечно я спорить не буду, скажу лишь, что в тех книгах, которые сейчас лежат у меня на столе - в кратных интегралах области везде заданы нестрогими неравенствами. Ну, и остаётся неопровергнутым мой аргумент про круг в основании.

[Dan B-Yallay]

Shtorm в сообщении #630864 писал(а):

Ну, и остаётся неопровергнутым мой аргумент про круг в основании.

O чем там спорить то? Как Вы область назовёте, так она и ...
Если "... нужно найти объём некоего тела, основанием которого служит круг" то Вы правы.
А ежели "... основанием которого - область, ограниченная окружностью" то тут я бы брал внутренность.