Проверка гипотезы и доверительный интервал

[Andrei94]

1) В таблице представлены данные по высоте домов в нескольких городах. При уровне значимости $\alpha = 0,01$ проверьте, существует ли разница в средней высоте домов?

(ТАБЛИЦА)

Я бы проверил гипотезу о равенстве средних, если было бы 2 столбца, а здесь их 4. Как тут проверять? Проверять всевозможные комбинации? 12, 13, 14, 23, 24, 34, используя те формулы, которые я написал во второй задаче ? А что как быть с отсутствующими данными (пустыми клетками) Брать высоту за ноль?

2) Социологу интересно узнать, повлияет ли показ фильма об управлении стрессом, на установки двенадцати человек, участвующих в исследовании. Результаты в таблице. Здесь большим числовым значениям соответствует более позитивное отношение к управлению стрессом. При $\alpha =0,05$ проверьте утверждение, что просмотр данного фильма меняет установки испытуемых. Постройте доверительный интервал для разности средних до и после просмотра фильма.



Эти формулы нужно использовать?

$\overline{f}-\Delta<\mu_f<\overline{f}+\Delta$

$\Delta=t_{\alpha/2}\cdot \dfrac{s_f}{\sqrt{n}}$

$\overline{f}=\displaystyle\sum_{k=1}^nw_k(x_k-y_k)$ -выборочное среднее для парных разностей.

$s_f=\displaystyle\sum_{k=1}^nw_k(x_k-y_k)^2-\overline{f}^2$ -стандартное отклонение разностей для выборки

$\mu_f$ - генеральное среднее для парных разностей

[Andrei94]

Еще про вторую задачу.

Я так понял, что нужно проверить гипотезу $H_0: \mu_f\ne 0$ при альтернативной $H_1:\mu_f=0$

Я могу вычислить статистику $Z=\dfrac{(\overline{f}-\mu_f)\sqrt{n}}{s_f}$

Эта статистика должна иметь распределение Стьюдента с $n-1$ степенями свободы. $n-1=11\;\;\;\;\;\;\alpha=0,95$

Здесь критическая область двусторонняя? То есть принимаем гипотезу при $-t_{0,95;11}<Z<t_{0,95;11}$ ???

Только мне почему-то кажется, что наоборот, мы отвергаем гипотезу при $-t_{0,95;11}<Z<t_{0,95;11}$ , так как у нас основная и альтернативная гипотеза как-то нестандартно сформулированы, что у меня разрывается шаблон...

[--mS--]

В первой задаче используйте однофакторный дисперсионный анализ.

-- Пт окт 05, 2012 22:18:17 --

Andrei94 в сообщении #627268 писал(а):

Я так понял, что нужно проверить гипотезу $H_0: \mu_f\ne 0$ при альтернативной $H_1:\mu_f=0$

Я могу вычислить статистику $Z=\dfrac{(\overline{f}-\mu_f)\sqrt{n}}{s_f}$

Каким образом? У Вас есть $\mu_f$? Что Вы хотите подставлять вместо неё?

Andrei94 в сообщении #627268 писал(а):

Эта статистика должна иметь распределение Стьюдента с $n-1$ степенями свободы. $n-1=11\;\;\;\;\;\;\alpha=0,95$

Здесь критическая область двусторонняя? То есть принимаем гипотезу при $-t_{0,95;11}<Z<t_{0,95;11}$ ???

Только мне почему-то кажется, что наоборот, мы отвергаем гипотезу при $-t_{0,95;11}<Z<t_{0,95;11}$ , так как у нас основная и альтернативная гипотеза как-то нестандартно сформулированы, что у меня разрывается шаблон...

Вот на самом деле основной вопрос - выше. Как только Вы на него ответите, можно поговорить о том, какой должна быть основная гипотеза и почему. А здесь - только маленькое замечание. Почему квантили уровня $0,95$? Для распределения Стьюдента вероятность попасть в указанный интервал есть $0,9$, а не $0,95$.

[Andrei94]

У нас ведь в задаче спрашивается - "Социологу интересно узнать, повлияет ли показ фильма об управлении стрессом, на установки двенадцати человек, участвующих в исследовании. ". Если генеральное среднее для парных разностей равно нулю, тогда не повлияет. А если не равно нулю, то повлияет. Или я не прав?

[--mS--]

Правы, правы. Какое отношение это имеет к заданному вопросу? Повторю: какое $\mu_f$ Вы будете подставлять в статистику критерия?

[Andrei94]

--mS-- в сообщении #627309 писал(а):

Правы, правы. Какое отношение это имеет к заданному вопросу? Повторю: какое $\mu_f$ Вы будете подставлять в статистику критерия?

Есть только идея подставить $\mu_f=0$, взяв за основную гипотезу $H_0: \mu_f=0$. Если это окажется так, то никак не влияет. Почему - потому что так удобнее считать будет. Как же мы можем подставить любое ненулевое число? Верно?

[--mS--]

Верно. Вот теперь могу ответить на исходный вопрос.

На самом деле всё стандартно, так всегда, увы, бывает.

Вы правы: вообще-то требование проверить "такую-то гипотезу $H$ на таком-то уровне значимости $\alpha$" должно значить, что мы используем критерий, который с заданной вероятностью $\alpha$ отвергает $H$, когда она верна. На самом деле часто оказывается, что $H$ сложная (очень сложная) гипотеза, и поэтому она не может быть сделана основной гипотезой - просто потому, что посчитать указанную вероятность при верной $H$ нельзя. В этом случае $H$ выступает альтернативой, а в роли основной гипотезы $H_0$ выступает такая, при которой распределение статистики критерия известно и фиксировано. Строится критерий, который в доле случаев $\alpha$ отвергает верную $H_0$. Это совсем не то, что требовалось, но на самом деле постановка задачи предполагает именно такое решение: другого просто не бывает.

Просто в таких ситуациях следует отдавать себе отчёт в том, что фраза "мы проверили на уровне значимости $0,05$ гипотезу о том, что просмотр фильма влияет на бла-бла-бла" означает, не то, что должна.

Должна она значить следующее: мы приняли (или отвергли - неважно) данную гипотезу с помощью критерия, который отвергает эту гипотезу в $5\%$ случаев, когда она верна.

А на самом деле она значит следующее: мы приняли (или отвергли - неважно) данную гипотезу с помощью критерия, который принимает эту гипотезу в $5\%$ случаев, когда она не верна.

Всё шиворот навыворот.

-- Сб окт 06, 2012 00:17:34 --

Ну и, разумеется, приличные люди в такой ситуации никогда не будут писать "мы приняли гипотезу о том, что просмотр влияет.... на уровне $0,05$", а будут писать: "мы проверили основную гипотезу "не влияет" при альтернативе "влияет", основная гипотеза отвергнута на уровне $0,05$".

[Andrei94]

Спасибо, по второй задаче тогда все понятно, кроме того - почему именно квантиль уровня 0,9 берем?

Сейчас буду разбираться с однофакторным дисперсионным анализом

[Andrei94]

Есть вопросы по первой задаче.

Верно ли, что число степеней свободы для межгрупповой дисперсии равно 3

А как считать число степеней свободы для внутригруппов. дисперсии, когда кол-во значений в каждой группе - разное? Если было бы одинаковое, то считал бы по формуле $mn-m$

[--mS--]

Andrei94 в сообщении #627359 писал(а):

Спасибо, по второй задаче тогда все понятно, кроме того - почему именно квантиль уровня 0,9 берем?

А где предлагается брать квантиль уровня $0,9$? Разберитесь с вычислением площадей под плотностью, а то так и будете получать вероятности, не связанные с условием.

-- Сб окт 06, 2012 07:06:43 --

Andrei94 в сообщении #627470 писал(а):

Верно ли, что число степеней свободы для межгрупповой дисперсии равно 3

Верно.

Andrei94 в сообщении #627470 писал(а):

А как считать число степеней свободы для внутригруппов. дисперсии, когда кол-во значений в каждой группе - разное? Если было бы одинаковое, то считал бы по формуле $mn-m$

Что за источник знаний странный у Вас... Ну считайте по формуле $n_1+\ldots+n_m - m$.

[Andrei94]

Спасибо! Книжка Кремер, Теория Вероятностей и Математическая Статистика.

Правильно ли понимаю, что если у нас то двусторонняя гипотеза, поэтому следует применять двусторонний критерий, а значит $\alpha$ нужно "отправить по разным хвостам", а тогда они в сумме дают $2\alpha$ (чую, что написал бред).

А что посоветуете почитать, чтобы не путать площади под плотностью?

[--mS--]

Andrei94 в сообщении #627472 писал(а):

Книжка Кремер, Теория Вероятностей и Математическая Статистика.

Ну даже и там эти вещи описаны: см. формулы 10.2-10.4 и объяснения вокруг.

Andrei94 в сообщении #627472 писал(а):

Правильно ли понимаю, что если у нас то двусторонняя гипотеза, поэтому следует применять двусторонний критерий, а значит $\alpha$ нужно "отправить по разным хвостам", а тогда они в сумме дают $2\alpha$ (чую, что написал бред).

Вы должны получить вероятность ошибки первого рода альфа, а получаете $2\alpha$! Если масса альфа сидит слева от левого конца интервала, и такая же масса сидит справа от правого конца, так какая масса сидит вне интервала?

[Andrei94]

--mS-- в сообщении #627665 писал(а):

Andrei94 в сообщении #627472 писал(а):

Книжка Кремер, Теория Вероятностей и Математическая Статистика.

Ну даже и там эти вещи описаны: см. формулы 10.2-10.4 и объяснения вокруг.

Andrei94 в сообщении #627472 писал(а):

Правильно ли понимаю, что если у нас то двусторонняя гипотеза, поэтому следует применять двусторонний критерий, а значит $\alpha$ нужно "отправить по разным хвостам", а тогда они в сумме дают $2\alpha$ (чую, что написал бред).

Вы должны получить вероятность ошибки первого рода альфа, а получаете $2\alpha$! Если масса альфа сидит слева от левого конца интервала, и такая же масса сидит справа от правого конца, так какая масса сидит вне интервала?

Я вот понял - что двусторонняя критическая область, но в формулах 10.2-10.4 написано, что для двусторонней области $P(\tilde{\theta_n}>\theta_{\text{кр 1}})=P(\tilde{\theta_n}<\theta_{\text{кр 2}})=\dfrac{\alpha}{2}$

А у нас ведь $\alpha=0,05$

$\dfrac{\alpha}{2}=0,025$

Что-то я еще сильнее запутался с этим(

[--mS--]

Ну да, верно. Что смущает? Если вероятность не попасть в интервал пять процентов, то на каждый хвост приходится по два с половиной.

[Andrei94]

--mS-- в сообщении #629715 писал(а):

Ну да, верно. Что смущает? Если вероятность не попасть в интервал пять процентов, то на каждый хвост приходится по два с половиной.

Спасибо

Просто вы там писали, то 0,9, тогда на каждых хвост по 5 процентов.
А с однофакторным дисперсионным анализом стало все ясно

--mS-- в сообщении #627273 писал(а):

Почему квантили уровня $0,95$? Для распределения Стьюдента вероятность попасть в указанный интервал есть $0,9$, а не $0,95$.