Задача по функциональному анализу.

[3.14]

ААА...Точно..Получается так : мы предъявили последовательность функций из нашего множества $K$, предел которой является разрывной функцией, так что она не только не лежит в $K$, но и не лежит в $C[0,1]$. Но для компактности необходимо, чтобы предельная точка лежала в самом множестве. Так что наше множество $K$ не компакт.

-- 07 окт 2012, 21:54 --

АА..Точно. Так вот что у нас получается : мы предъявили последовательность функций из $K$, предел которой не является непрерывной функцией. Так что этот предел не лежит не только в $K$, но и в $C[0,1]$. А для компактности необходимо чтобы предел лежал у нас во множестве. Так что $K$ - не компакт. Вот только немного беспокоит вопрос насчет самих $f_n(t)$. Получается мы можем определить $f_n(t)$ на промежуточном отрезке как хотим (непрерывно соединив концы)?

[vlad_light]

Не знаю, по поводу "как хотим" (это лучше уточнить у г-на ewert'a, он в этом специалист) зато, для гарантии, можно соеденить плавненько, чтоб производная существовала. Если нужно представить в явном виде, то можно, например, воспользоваться теоремой о разложении еденицы, либо взять пример с теми же синусами: при конечных "эн" производная существует.

[3.14]

Интересно, а чему равен предел $f_{n}(t) = t^4 \cos^2(nt) + t^3 \sin^2(nt)$ при $n \rightarrow \infty$. Что-то как-то сходу и не видно чему он равен.

[vlad_light]

Опять попробую объяснить на бумажке
При $f_n(t)|_{t=0}\to 0=t^3|_{t=0}=t^4|_{t=0};f_n(t)|_{t=1}\to 1=t^3|_{t=1}=t^4|_{t=1}$, т.е. начало и конец совпадают с исходными функциями. В точках $t=\frac{\pi k}{n}$ пропадает косинус, а синус обращается в 1, т.е. $f_n(t)|_{t=\frac{\pi k}{n}}\to t^4$, аналогично $f_n(t)|_{t=\frac{\pi k}{n}+\frac\pi 2}\to t^3$. Получается, что $f_n(t)$ начинается в $(0,0)$, затем прыгает: то вверх к $t^3$, то вниз к $t^4$, дальше прыгает-прыгает и приходит в $(1,1)$. Теперь смотри, как она прыгает: $t^4\leq t^4\cos ^2(nt)+t^3\sin ^2(nt)$ перекидываем косинус, дальше по известной формуле, там сокращаем и получаем то, что нужно. Аналогично ограничиваем сверху. Таким образом получаем, что $t^4\leq f_n(t)\leq t^3$, т.е. функция прыгает между нашими двумя от одной к другой. А теперь вспоминаем, что аргумент у синуса (точнее константа при переменной в аргументе) называется частотой. Таким образом, с увеличением $n$ у нас возрастает частота скачков от одной функции к другой. В итоге получим функцию, которая полностью заполняет пространство между $t^4$ и $t^3$.
Как-то так

[ewert]

3.14 в сообщении #628042 писал(а):

Получается мы можем определить $f_n(t)$ на промежуточном отрезке как хотим (непрерывно соединив концы)?

Это просто неважно. Главное, что на концах того отрезка перепад ограничен снизу, в то время как длина отрезка сколь угодно мала. Это напрямую и противоречит равностепенной непрерывности.