2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство
Сообщение03.10.2012, 15:01 
Доказать, что $abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ при $a, b, c > 0$.

Пробовал, для каждой из трёх скобок $A=(a+b-c), B=(b+c-a), C=(c+a-b)$ применить неравенство Коши, затем перемножить неравенства:
$$abc \ge -\dfrac{ABC}{27}.$$
Пока ничего больше не придумал.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение03.10.2012, 15:49 
Аватара пользователя
$abc-(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(a-b)^2(a+b-c)+c(c-a)(c-b)$, если не ошибаюсь. И далее, считая не ограничивая общности, что $a\geqslant b\geqslant c>0$, приходим к нужному неравенству.
Или можно еще так. Будем считать $a,b,c$ длинами сторон треугольника. (Если это не так, то легко показать, что правая часть неравенства становится отрицательной или нулевой). Далее берем формулу Герона для площади треугольника, а также формулы площади через радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами:
\[
16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b),\quad 2S=r(a+b+c),\quad4RS=abc,\quad d^2=R(R-2r)
\] и из всего этого получаем:
\[
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=\left(1-\frac{d^2}{R^2}\right)abc\leqslant abc.
\]
Как то так.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение04.10.2012, 11:02 
Пусть $c$ -- наименьшее из чисел и $x=\frac ac,\ y=\frac bc$; тогда $x+y\geqslant2$, и при этом условии надо доказать, что $xy\geqslant(x+y-1)(y+1-x)(1+x-y)$. Ну это довольно очевидно, если представить неравенство в виде

$(x+y)^2-(x-y)^2\geqslant4(x+y-1)\left(1-(x-y)^2\right)$.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение04.10.2012, 15:58 
ewert в сообщении #626777 писал(а):
Ну это довольно очевидно, если представить неравенство в виде...
Не могу понять. Как это? Ну представили в таком виде и что?

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение04.10.2012, 16:43 
$(x+y)^2-(x-y)^2\geqslant4(x+y-1)\left(1-(x-y)^2\right);$

$(x+y)^2-4(x+y)+4\geqslant-(4(x+y)-5)(x-y)^2,$

причём $4(x+y)-5\geqslant3.$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение05.10.2012, 10:37 
Если $a+b+c=1$, то исходное неравенство очевидно.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group