
, если не ошибаюсь. И далее, считая не ограничивая общности, что

, приходим к нужному неравенству.
Или можно еще так. Будем считать

длинами сторон треугольника. (Если это не так, то легко показать, что правая часть неравенства становится отрицательной или нулевой). Далее берем формулу Герона для площади треугольника, а также формулы площади через радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами:
![\[
16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b),\quad 2S=r(a+b+c),\quad4RS=abc,\quad d^2=R(R-2r)
\] \[
16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b),\quad 2S=r(a+b+c),\quad4RS=abc,\quad d^2=R(R-2r)
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/6/866a9580617d4fdd1f466de5c235cc1282.png)
и из всего этого получаем:
![\[
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=\left(1-\frac{d^2}{R^2}\right)abc\leqslant abc.
\] \[
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=\left(1-\frac{d^2}{R^2}\right)abc\leqslant abc.
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/e/9fed224cd9e83bae62f8c5425016d45d82.png)
Как то так.