Простейшее УРЧП 2-го порядка в произвольной области

[DLL]

$u_{xy} = 0, (x,y) \in D
$D$ - некоторая область в $R_2$, то есть открытое и связное множество
Интуитивно чувствуется, что также как и в случае с прямоугольной областью общее решение будет задаваться формулой:
$u(x,y) = f_1(x) + f_2(y)$
Так ли это?

[DLL]

Предполагаю, что да.
Моя идея доказательства.
Каждую точку области (в силу открытости) можно заключить в прямоугольную окрестность целиком лежащую внутри $D$.
Для каждой прямоугольной окрестности верно представление $u$ через $f_1$ и $f_2$.
Любые две точки области (в силу связности) можно соединить непрерывной кривой.
Эту кривую будем аппроксимировать ломаной, состоящей только из линий параллельных оси Ox или оси Oy...

[sup]

Для невыпуклых областей это, вообще говоря, не верно. Рассмотрите случай П-образной области. И пусть в окрестности "перекладины" функция тождественно равна 0. Дальше возможны продолжения функции в оставшиеся 2 куска, противоречащие Вашей гипотезе.

[atlakatl]

$x$ и $y$ в $u_xy$ независимы друг от друга. Так что мешает разделить их на две функции?
Другое дело, что имея аналитическую запись уравнения $u_xy$и пользуясь традиционным набором функций, мы далеко не всегда имеем возможность разделить переменные на $f_1(x)$ и $f_2(y)$ именно в аналитической форме.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #626727 писал(а):

Для невыпуклых областей это, вообще говоря, не верно. Рассмотрите случай П-образной области. И пусть в окрестности "перекладины" функция тождественно равна 0. Дальше возможны продолжения функции в оставшиеся 2 куска, противоречащие Вашей гипотезе.

добавлю, что представимость любого решения в виде

DLL в сообщении #624964 писал(а):

$u(x,y) = f_1(x) + f_2(y)$

зависит не только от геометрии области, но и от ее расположения относительно осей координат. Например, в области

$$\{-1<y<2,\quad |x|<1\}\cup\{-2<x\le-1,\quad |y|<1\}$$

любое решение представляется таким разложением, хотя она не является выпуклой.

Пусть $C(A,U)$ -- прямоугольник с диагональю $AU$ и сторонами параллельными осям координат.

Утв. Если в области $D$ найдется точка $U$ такая, что для любой точки $A\in D$ будет $C(A,U)\subset D$, то общее решение представимо в указанном виде.

И вот эллипс, например, не при всяком расположении относительно осей координат будет удовлетворять этому условию. И что?

[DLL]

Цитата:

Для невыпуклых областей это, вообще говоря, не верно. Рассмотрите случай П-образной области. И пусть в окрестности "перекладины" функция тождественно равна 0. Дальше возможны продолжения функции в оставшиеся 2 куска, противоречащие Вашей гипотезе.

Спасибо, отличный пример!