Сумма последовательности

[alexv58]

Вопрос, как найти сумму:

Sn=1^4/1*3 + 2^4/3*5 + 3^4/5*7 + ... + n^4/[(2*n-1)*(2n+1)]

[chessar]

Будьте так любезны переписать сумму, используя $\LaTeX$. А так стандартно, используйте разложение:

\[ \frac{k^4}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{k^4}{2k-1}-\frac{k^4}{2k+1}\right) \]

[arqady]

chessar в сообщении #626630 писал(а):

А так стандартно, используйте разложение:

\[ \frac{k^4}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{k^4}{2k-1}-\frac{k^4}{2k+1}\right) \]

Что-то у меня Вашим методом ничего не получается...
Вот если сумму квадратов знать как найти, тогда, может, и получится...

[chessar]

arqady в сообщении #626657 писал(а):

Что-то у меня Вашим методом ничего не получается...

Да, и у меня не получается. $k^4$ принял за единички почему-то. Хотя постойте, получается же сумма:

\[ \frac{1}{2}-\frac{n^4}{2(2n+1)}+\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\left(-\frac{(k-1)^4}{2k-1}+\frac{k^4}{2k-1}\right)=\frac{1}{2}-\frac{n^4}{2(2n+1)}+\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n(k^2+(k-1)^2), \]

и далее уже очевидно. Или опять ошибся где-то

[Someone]

Подберите многочлен $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ так, чтобы выполнялось равенство

$$\frac{P(k+1)}{2(k+1)-1}-\frac{P(k)}{2k-1}=\frac{k^4}{(2(k+1)-1)(2k-1)}.$$

(Естественно, $2(k+1)-1=2k+1$.)

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: оформлени е формул.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.