Докажите самостоятельно, что при равноускоренном

[larkova_alina]

Докажите самостоятельно, что при равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за равные последовательные промежутки времени, пропорциональны последовательным нечетным числам:
$s_1:s_2:s_3...=1:3:5...\\$
$s_1=\frac{a}{2},$
$s_2=3\frac{a}{2},$
$s_3=5\frac{a}{2},$
$s_4=7\frac{a}{2},$ и т.д.
Но как доказать требуемое? То есть, что $s_k=(2k-1)\frac{a}{2}\;\;\; \forall k\in\mathbb{N}.$

[gris]

Обратите внимание, что суммы нечётных чисел равны квадратам натуральных чисел.
$1=1^2$
$1+3=2^2$
$1+3+5=3^2$
При равноускоренном движении без начальной скорости путь пропорционален квадрату времени. Ну вот постепенно работая с этим, получим искомое.

[photon]

larkova_alina в сообщении #626140 писал(а):

последовательным нечетным числам:
$s_1:s_2:s_3...=1:2:3...\\$

$2$ - нечетное?

-- Tue Oct 02, 2012 18:15:10 --

gris в сообщении #626142 писал(а):

Обратите внимание, что суммы нечётных чисел равны квадратам натуральных чисел.

Я думаю, это утверждение тоже придется доказать в рамках задачи. Сделать это, по-моему, несложно, например, рассмотрев разность квадратов двух произвольных соседних натуральных чисел.

[larkova_alina]

Пусть $S(k)-$ это путь, пройденный за первые k секунд.
$S(k)=\frac{ak^2}{2}=\frac{a}{2}(1+3+5+...+(2k-1)),$
$S(k-1)=\frac{a}{2}(1+3+5+...+(2k-3)),$
$s_k=S(k)-S(k-1)=\frac{a}{2}(2k-1).$
Так?

[arseniiv]

Вот так будет короче: $s(k) - s(k-1) = \frac{ak^2}2 - \frac{a(k-1)^2}2 = \ldots$

[Someone]

larkova_alina, забудьте это всё. Просто вычислите путь, пройденный телом за время от $0$ до $t$, от $t$ до $2t$, от $2t$ до $3t$, от $3t$ до $4t$, ..., от $(n-1)t$ до $nt$, и рассмотрите отношения этих путей к самому первому.