Арифметика для мозга

[Ktina]

$n$ и $m$ - двузначные натуральные числа, а $100n+m$ и $201n+m$ - четырёхзначные точные квадраты.
Чему могут быть равны $n$ и $m$? Указать все варианты, доказав, что других нет.

*Можно попробовать решить эту задачу как в десятичной, так и в других системах счисления.

[chessar]

Для десятичной системы счисления единственная пара: $n=17,\;m=64$. Соответственно,
$100n+m=42^2$ и $201n+m=59^2$.
Для некоторых других систем счисления:
$\begin{array}{|r|l|l|} \hline \text{о.\,с.\,ч.}&n&m\\ \hline 2,3,4,5,6&-&-\\ \hline 7&15_7&52_7\\ \hline 8&13_8&31_8\\ \hline 9&15_9&24_9\\ \hline 10&17&64\\ \hline 11,\,12&-&-\\ \hline 13&31_{13}&9C_{13}\\ \hline 14,\,15,\,16&-&-\\ \hline 17&40_{17}&D8_{17}\\ \hline 18&-&-\\ \hline 19&35_{19}&64_{19}\\ \hline 20&-&-\\ \hline 21&1F_{21}&C1_{21}\\ \hline 22&3H_{22}&A9_{22}\\ &53_{22}&2K_{22} \\ \hline \multicolumn{3}{|c|}{\hdotsfor{1}}\\ \end{array}$
Так?

[Ktina]

chessar в сообщении #620295 писал(а):

Так?

Для первых десяти девяти систем (с двоичной по десятичную) - так.
Остальные пока не проверяла.

[chessar]

Для оснований 32, 57, 58, 64 по три пары получается.

[Ktina]

chessar в сообщении #620304 писал(а):

Для оснований 32, 57, 58, 64 по три пары получается.

Любопытно было бы задаться вопросом - а существует ли наибольшее основание, для которого есть хотя бы одна пара?

[chessar]

Ktina в сообщении #620307 писал(а):

Любопытно было бы задаться вопросом - а существует ли наибольшее основание, для которого есть хотя бы одна пара?

Думается мне, что всё-таки не существует.
Любопытно ещё задаться таким вопросом - всегда ли существует основание с заданным числом решений, либо число решений ограничено?