Аналитическое продолжение

[godsdog]

Приветствую!

Имеется следующий равномерно сходящийся ряд: $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x),$ где $x\in\mathbb{R}$. Функции $f_n(x)$ при все $n$, а также $f(x)$ допускают аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость $z\in\mathbb{C}$. Будет ли ряд $\sum_{n=0}^{\infty}f_n(z)$ равномерно сходящимся? То-есть имеет ли место равенство $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(z)$?

Пробежался по литературе, но такого утверждения не нашёл. Может кто-то знает о существовании такой теоремы или знает контрпример?

Спасибо.

[ИСН]

Возьмём тупо ряд из синусов. Прихлопнем его каким-нибудь хорошим множителем, чтобы сходился без разговоров. И что у нас происходит далеко на мнимой оси? Где равномерность?

[Padawan]

ИСН
На всей плоскости равномерной сходимости не будет, но а может на каждом компактном подмножестве будет, и , соответственно, будет выполнено равенство $f(z)=\sum_{n=0}^\infty f_n(z)$. Надо пример детальней продумать. Но, конечно, утверждение не верно.

Не, с тригонометрическим рядом не получится контрпримера.

-- Пн сен 17, 2012 22:26:40 --

По теореме Рунге существует последовательность многочленов $P_n(z)$ такая, что ряд $\sum_n P_n(z)$ равномерно сходится на множестве $K=\{z\in\mathbb C\mid |z|\leqslant 2\}\cup \{e\}$ (то самое $e$) к функции, равной нулю на $\{z\in\mathbb C \mid |z|\leqslant 2\}$ и к единице в точке $z=e$. Тогда ряд из функций $f_n(z)=P_n(e^{iz})$ будет на действительной оси равномерно сходится к нулю, а в точке $z=-i$ будет сходится к единице.

[godsdog]

ИСН
Прошу прощения. Действительно имелась в виду равномерная сходимость на $|z|<R$ где $R$ можно взять как угодно большим. Для меня существенна правомерность аналитического продолжения, о котором я писал вначале, для чего равномерной сходимости на как-угодно большом диске достаточно.

Padawan
А ведь хромает ваш пример!
Ряд из вот этих $f_n(z)=P_n(e^{iz})$ хоть и равномерно сходится к нулю на действительной оси, но есть рядом из комплексных функций на действительной оси. А я стартую с действительных функций.

эх. значит ручками.

спасибо

[Padawan]

godsdog в сообщении #620578 писал(а):

А я стартую с действительных функций.

Про это не было сказано. Попробуйте по доказательству теоремы Рунге проследить, может в данном случае многочлены можно действительными взять (с действительными коэффициентами).

[sup]

Padawan в сообщении #620164 писал(а):

По теореме Рунге существует последовательность многочленов $P_n(z)$ такая, что ряд $\sum_n P_n(z)$ равномерно сходится на множестве $K=\{z\in\mathbb C\mid |z|\leqslant 2\}\cup \{e\}$ (то самое $e$) к функции, равной нулю на $\{z\in\mathbb C \mid |z|\leqslant 2\}$ и к единице в точке $z=e$. Тогда ряд из функций $f_n(z)=P_n(e^{iz})$ будет на действительной оси равномерно сходится к нулю, а в точке $z=-i$ будет сходится к единице.

А зачем нам круг $K$? достаточно отрезка $[-2,2]$. Итак по теореме Вейерштрасса найдется последовательность полиномов $P_n(x)$ равномерно сходящаяся к 0 на отрезке $[-1,1]$ и к, скажем 1, в точке 2. Ну а теперь рассмотрим $P_n(\sin z)$. На вещественной оси он равномерно сходится к 0. Значит, если он сходится равномерно на любом компакте, то его сумма должна тождественно равняться 0. Но в точке $z$, где $\sin z =2$, это не так.

[Padawan]

sup
И вправду. Горе от ума.

Видимо мне хотелось, чтобы равномерная сходимость была в окрестности действительной оси.

[godsdog]

Красивый контрпример. Только сейчас увидел ответ от sup-а. Жаль, что после ответа Padawan-а сам не догадался, как подправить. Нет навыков

-- Пт окт 05, 2012 01:23:30 --

Правда... для окончательного закрытия вопроса следует (мне) ещё посмотреть само доказательство теоремы Рунге (Вейерштрасса?) и выяснить, можно ли там выбрать упоминаемые полиномы такими, чтоб с действительными коэффициентами.