Привести квадратичную форму к главным осям

[kamil_hism]

Здравствуйте!
Есть задание привести квадратичную форму к главным осям:
$x^2_1+x^2_2+x^2_3+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$
ещё даны корни $-1; -1; 5$
Мне подсказали такой ход решения:
1)Находим собственные вектора
2)Ортогонализируем
3)Нормируем
4)Вставляем в матрицу
И я хочу удостовериться в его правильности.
Решение:

$$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right)$$

1 этап. Собственные векторы:
$v_1 = (1, 1, 1)$
$v_2 = (-1, 0, 1)$
$v_3 = (-1, 1, 0)$
2 этап. Ортогонализация:
$e_1 = (1, 1, 1)$
$e_2 = (-1, 0, 1)$
$e_3 = (\frac{-1}{2}, 1, \frac{-1}{2})$
3 этап. Нормируем:
$n_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$
$n_2 = \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}$
$n_3 = \frac{-1}{\sqrt{6}}, \sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}$
4 этап. Вставляем в матрицу:

$$ \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \end{array} \right)$$

Подскажите, пожалуйста, такое решение правильно?
P.S.
И для чего вообще даны корни, если я их тут вообще не использовал?

[Алексей К.]

kamil_hism в сообщении #616798 писал(а):

ещё даны корни $-1; -1; 5$

Какие корни? Корни чего? Какого-то дерева, какого-то уравнения? Может, это из другой задачи?

[kamil_hism]

Алексей К. в сообщении #616817 писал(а):

kamil_hism в сообщении #616798 писал(а):

ещё даны корни $-1; -1; 5$

Какие корни? Корни чего? Какого-то дерева, какого-то уравнения? Может, это из другой задачи?

Про это не сказано, извините. Нет, это всё из этой задачи.
А сам способ то правильный?

[Mitrius_Math]

Если ничего не путаю, этот метод разобран в книге "Линейная алгебра в вопросах и задачах", Бутузов и др.

[kamil_hism]

Mitrius_Math в сообщении #616829 писал(а):

Если ничего не путаю, этот метод разобран в книге "Линейная алгебра в вопросах и задачах", Бутузов и др.

Что-то я не вижу..или вы про это:

стр. 177 Бутузов В.Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах писал(а):

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью поворота осей координат системы Оху и последующего параллельного переноса.

[Mitrius_Math]

У меня на странице 160.

[kamil_hism]

Mitrius_Math в сообщении #616845 писал(а):

У меня на странице 160.

Отлично, спасибо!

Получается способ правильный, но только немного недоделанный.
Этап 4 можно переименовать в "Нахождение матрицы ортогонального преобразования"
И добавить этап 5.
Матрица ортогонального преобразования приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду.
И подставить все те значения из матрицы в кв. форму.
Не стану сюда писать, т.к. устану формулы набирать...Всё, действительно, можно из книжки прочитать

Ещё раз спасибо!

[Mitrius_Math]

kamil_hism в сообщении #616855 писал(а):

Ещё раз спасибо!

Пожалуйста.