Неравенство от одной переменной

[arqady]

С помощью AM-GM докажите, что $x^{10}+4x^8-5x^5+1>0$

[Edward_Tur]

$x^{10}+4x^8+1=x^{10}+x^8+x^8+x^8+\frac {1}{2}x^8+\frac {1}{2}x^8+\frac {1}{4}+\frac {1}{4}+\frac {1}{4}+\frac {1}{4}>5x^5$

[arqady]

Здорово! Вы получили точно $5x^5$.

[ИСН]

Монстры
Я тут о другом подумал. Каждый такой многочлен представляется в виде суммы квадратов двух многочленов. Есть ли простой способ их найти руками, например, хотя бы если они "хорошие"? (Здесь, кажется, плохие; но неважно). Под простым я подразумеваю - проще, чем найти численно все корни и лезть через них. Так-то понятно.

[arqady]

Для четвертой степени, понятно, такой алгоритм есть.
Вы мне напомнили следующую задачу.
Докажите, что $3(x^4+y^4+z^4)+4(x^3y+y^3z+z^3x)\geq0$, представив этот многочлен в виде суммы квадратов.

[TOTAL]

$x^{10}+4x^8+1\ge 2x^9+2x^8+x^8+\frac {1}{2}+\frac {1}{2}>5x^5$

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #614046 писал(а):

Для четвертой степени, понятно, такой алгоритм есть.
Вы мне напомнили следующую задачу.
Докажите, что $3(x^4+y^4+z^4)+4(x^3y+y^3z+z^3x)\geq0$, представив этот многочлен в виде суммы квадратов.

$LHS=\frac{3}{148}\sum \limits_{cyc} (\frac{74}{9}\cdot(x^2-y^2)+4\cdot xy-\frac{44}{9} \cdot yz+\frac{8}{9} \cdot zx)^2+\frac{135}{15244}\sum \limits_{cyc}(4\cdot xy-\frac{44}{9}\cdot yz+\frac{8}{9} \cdot zx)^2+\frac{7}{27} \sum \limits_{cyc}(x+y+z)^4 \ge 0$

[arqady]

Sergic Primazon, подставьте $y=z=0$ и убедитесь, что у Вас есть ошибка.

[ИСН]

Да нету у него ошибки.
Я к этому моменту находился где-то в процессе понимания того, что конструкции на две ступеньки проще этой - не работают. А что я думаю, глядя на готовый результат, это вообще - - -

[arqady]

ИСН в сообщении #614758 писал(а):

Да нету у него ошибки.

Ну если $3=2\cdot\frac{3}{148}\cdot\left(\frac{74}{9}\right)^2+\frac{7}{9}$, то, конечно, ошибки нет.

ИСН в сообщении #614758 писал(а):

А что я думаю, глядя на готовый результат, это вообще - - -

Я тоже утаю

[ИСН]

Ах, да. Последняя $\sum\limits_{cyc}$ - лишняя. В смысле, надо её понимать как одно слагаемое.

[arqady]

У Вас невероятные телепатические способности! Tак это, действительно, верно.
Можно ещё и так:

$$3(x^4+y^4+z^4)+4(x^3y+y^3z+z^3x)=\frac{1}{7}\sum_{cyc}(4x^2-2y^2-z^2+4xy+2xz)^2$$

и, понятно, есть ещё много способов.