Trigonometry equation [upd: sin(ax)*cos(bx)=-1]

[Keter]

$$\sin 6x +4 \cos x = \sin 2x$$

$$\sin 6x = \sin (2x+4x) = \sin 2x \cos 4x + \sin 4x \cos 2x = \sin 2x (4 \cos^2 2x +1)$$

$$\sin 2x (4 \cos^2 2x +1) +4 \cos x = \sin 2x$$

$$4\sin 2x \cos^2 2x + 4 \cos x = 0$$

$$\cos x (2 \sin x \cos^2 2x +1) = 0$$

Дальше никак..

[mihailm]

косинус двойного угла выражается же через синус

[Keter]

mihailm, пробовал, ничего не вышло. Ну точнее что-то вроде $8t^5-8t^3+2t+1=0$, но мне кажется это не то.

[mihailm]

там ошибка не плюс один а минус, и решать лучше через разность синусов

[ИСН]

Keter, если бы у Вас была репутация человека, который обычно не ошибается (хотя бы в этой самой теме), я бы не осмелился оскорбить Вас подозрением, что в условии на самом деле не $4\cos x$, а $\cos4x$.
А так осмелюсь.

[Keter]

ИСН, если бы я мог это проверить, а так, увы, прийдется смириться. Ну по крайней мере, пока я не найду первоисточник.

-- 31.08.2012, 22:58 --

mihailm, Вы имеете ввиду $\sin 6x - \sin 2x$ ?

-- 31.08.2012, 23:01 --

Ну прийду я к такому: $\sin x \cos 4x +1 =0$

[mihailm]

при исходном условии тоже решается

-- Пт авг 31, 2012 23:02:25 --

Keter в сообщении #613160 писал(а):

ИСН, если бы я мог это проверить, а так, увы, прийдется смириться. Ну по крайней мере, пока я не найду первоисточник.

-- 31.08.2012, 22:58 --

mihailm, Вы имеете ввиду $\sin 6x - \sin 2x$ ?

-- 31.08.2012, 23:01 --

Ну прийду я к такому: $\sin x \cos 4x +1 =0$

произведение равно минус один

[Keter]

mihailm в сообщении #613163 писал(а):

произведение равно минус один

И что?

[ИСН]

Да, так тоже решается. У Вашего уравнения пятой степени, если его правильно записать, один хороший корень, а остальные комплексные (то есть их нет).

[AKM]

Keter в сообщении #613167 писал(а):

И что?

Дальше надо переписать так ---

$$\sin x\cos 4x=-1,$$

и внимательно, раскрыв пошире глаза, смотреть на это, смотреть, думать, смотреть...

[Keter]

$$\sin x\cos 4x=-1,$$

$$(\sin x +1)(8 \sin^4 x - 8 \sin^3 x +1) = 0$$

$8 \sin^4 x - 8 \sin^3 x +1=0$ -- действительных корней нет.

[nnosipov]

AKM в сообщении #613297 писал(а):

внимательно, раскрыв пошире глаза, смотреть на это, смотреть, думать, смотреть...

Именно так. Keter, неужели не видно? Там же синусы. Они такие маленькие ...

[AKM]

Keter,
найдите "частное решение" уравнения

$$\sin x\cos 4x=-1,$$

а именно

$$\begin{cases}\sin x=\pm7,\\ \cos 4x=\mp\frac17;\end{cases}\qquad \begin{cases}\sin x=\pm\frac17,\\ \cos 4x=\mp7.\end{cases}$$

Перебрать потом (вместо семёрки) все действительные числа не составит труда.

Надеюсь, Вы с этим казусом переживёте приятное открытие.
Обычно оно сопровождается стуканием себя по лбу, так что будьте осторожны!

[Keter]

AKM, так более обосновано, но почему-то я получил те же результаты.

$$\begin{cases}\sin x=1,\\ \cos 4x=-1;\end{cases}\qquad \begin{cases}\sin x=-1,\\ \cos 4x=1.\end{cases}$$

Первая система не имеет решений, а вторая --- $x=-\dfrac{\pi}{2}+2 \pi n$.

[ИСН]

"Почему-то". Ха! Потому!
Потому что любые правильные рассуждения приводят к одному и тому же результату, как Вы только что убедились.